Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação polar.
Passo 1
O enunciado pede a área da curva em coordenadas polares dada por r = sen(20θ). O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula
.
Passo 2
Para entender a forma da curva, note que temos r = sen(20θ). Como o coeficiente 20 é par, a curva gera 2·20 = 40 pétalas iguais. Cada pétala ocupa um intervalo de θ de comprimento π/(2·20) = π/40.
Passo 3
Vamos calcular a área de uma pétala. Tomamos o intervalo θ∈[0,π/40] e aplicamos
Para resolver, fazemos a substituição u = 20θ, logo dθ = du/20. Quando θ = 0, u = 0; quando θ = π/40, u = π/2.
Passo 4
Após a substituição, a integral vira
E sabemos que
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Passo 5
Como há 40 pétalas idênticas, a área total é
Resposta
A área da região delimitada pela curva é
.