Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação polar.
r=sen 20

Passo 1

O enunciado pede a área da curva em coordenadas polares dada por r = sen(20θ). O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula
A = 12 integral r^2 , dθ
.

Passo 2

Para entender a forma da curva, note que temos r = sen(20θ). Como o coeficiente 20 é par, a curva gera 2·20 = 40 pétalas iguais. Cada pétala ocupa um intervalo de θ de comprimento π/(2·20) = π/40.

Passo 3

Vamos calcular a área de uma pétala. Tomamos o intervalo θ∈[0,π/40] e aplicamos
Ap = 12 integral0^pi/40 sin^2(20θ) , dθ
Para resolver, fazemos a substituição u = 20θ, logo dθ = du/20. Quando θ = 0, u = 0; quando θ = π/40, u = π/2.

Passo 4

Após a substituição, a integral vira
Ap = 12 integral0^pi/2 sin^2(u) cdot du20 = 140 integral0^pi/2 sin^2(u) , du
E sabemos que
integral0^pi/2 sin^2(u) , du = π4
Logo
Ap = 140 cdot π4 = π160

Passo 5

Como há 40 pétalas idênticas, a área total é
Atotal = 40 times π160 = π4

Resposta

A área da região delimitada pela curva é π/4.

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