Utilize limitações e estimativas para calcular os limites abaixo.
(b) lim (x, y) (0,0) x^2 raizyraizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite de x^2raizyraizx^2+y^2 quando (x,y)to(0,0). Esse é um problema de limites de funções de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares e o Teorema do Confronto para mostrar que o valor é zero.

Passo 2

Para que raizy seja real, precisamos de y>=0. Portanto, a aproximação a (0,0) é feita dentro da metade do plano onde y>=0, mas isso não impede o uso de coordenadas polares.

Passo 3

Fazendo a troca x=rcostheta, y=rsintheta com r>=0 e thetain[0,pi], temos
x^2+y^2=r^2,
raizx^2+y^2=r,
raizy=raizrsintheta=r^1/2raizsintheta

Passo 4

Substituindo na expressão original:
x^2raizyraizx^2+y^2 =(rcostheta)^2cdot r^1/2raizsinthetar = r^3/2,cos^2theta,raizsintheta

Passo 5

Como para todo thetain[0,pi] vale cos^2theta<=1 e raizsintheta<=1, segue que
|r^3/2cos^2thetaraizsintheta| <= r^3/2
Como rto0 implica r^3/2to0, pelo Teorema do Confronto concluímos que o limite é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados