Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas
Passo 1
O enunciado pede para determinar a área da região limitada pelas quatro curvas:
Informações dadas:
- A curva superior é
. - A curva inferior é
(eixo ). - As duas fronteiras verticais são
e . - A tarefa é calcular a área dessa região fechada.
Passo 2
Vamos visualizar e entender a região antes de calcular:
- Para
entre e temos , então . Assim a curva fica acima do eixo nesse intervalo. - As retas
e cortam a curva verticalmente, fechando a região com o eixo . - Logo, a região é uma “fatia” vertical cujo topo é
e base é , para variando de a .
Passo 3
Qual fórmula usamos para a área entre uma curva e o eixo
?
- Se uma função
é não negativa em , a área entre a curva e o eixo , entre e , é dada por
Por quê? Intuitivamente, dividimos o intervalo
em retângulos estreitos de largura
e altura aproximada
; somando essas áreas e tomando o limite
obtemos a integral definida (Riemann). Aqui o “topo” menos “base” é simplesmente
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- A função no topo é
. - O intervalo é
.
Portanto
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral
. Vou mostrar passo a passo a técnica:
- Reescrevemos
como . - Fazemos a substituição
. Então . - Substituindo na integral:
- Voltando para
, obtemos
Observação: o valor absoluto aparece por regra do logaritmo, mas no intervalo
temos
, então
.
Passo 6
Agora avaliamos a integral definida:
Calcule os valores:
-
. -
.
Substituindo:
Simplificando o logaritmo:
Portanto
Como checagem rápida, numericamente
, um valor razoável para a área dessa fatia.