Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas
y=2 \tan x, \quad y=0, x=0, x=\pi / 4

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área da região limitada pelas quatro curvas:
y=2\tan x,\qquad y=0,\qquad x=0,\qquad x=\frac{\pi}{4}.
Informações dadas:
  • A curva superior é y=2\tan x.
  • A curva inferior é y=0 (eixo x).
  • As duas fronteiras verticais são x=0 e x=\frac{\pi}{4}.
  • A tarefa é calcular a área dessa região fechada.

Passo 2

Vamos visualizar e entender a região antes de calcular:
  • Para x entre 0 e \frac{\pi}{4} temos \tan x\ge 0, então 2\tan x\ge 0. Assim a curva y=2\tan x fica acima do eixo x nesse intervalo.
  • As retas x=0 e x=\frac{\pi}{4} cortam a curva verticalmente, fechando a região com o eixo x.
  • Logo, a região é uma “fatia” vertical cujo topo é y=2\tan x e base é y=0, para x variando de 0 a \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Qual fórmula usamos para a área entre uma curva e o eixo x?
  • Se uma função f(x) é não negativa em [a,b], a área entre a curva y=f(x) e o eixo x, entre x=a e x=b, é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
Por quê? Intuitivamente, dividimos o intervalo [a,b] em retângulos estreitos de largura \Delta x e altura aproximada f(x_i); somando essas áreas e tomando o limite \Delta x\to 0 obtemos a integral definida (Riemann). Aqui o “topo” menos “base” é simplesmente f(x)-0=f(x).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • A função no topo é f(x)=2\tan x.
  • O intervalo é [0,\frac{\pi}{4}].
    Portanto
\text{Área}=\int_{0}^{\pi/4} 2\tan x\,dx = 2\int_{0}^{\pi/4} \tan x\,dx.Á

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral \displaystyle\int \tan x\,dx. Vou mostrar passo a passo a técnica:
  • Reescrevemos \tan x como \displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
  • Fazemos a substituição u=\cos x. Então du=-\sin x\,dx.
  • Substituindo na integral:
\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C.
  • Voltando para x, obtemos
\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C.
Observação: o valor absoluto aparece por regra do logaritmo, mas no intervalo [0,\frac{\pi}{4}] temos \cos x>0, então |\cos x|=\cos x.

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida:
\text{Área}=2\int_{0}^{\pi/4} \tan x\,dx = 2\bigl[-\ln|\cos x|\bigr]_{0}^{\pi/4}.Á
Calcule os valores:
  • \cos 0 = 1.
  • \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
    Substituindo:
\text{Área}=2\bigl(-\ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) + \ln(1)\bigr) = 2\bigl(-\ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)\bigr).Á
Simplificando o logaritmo:
\frac{\sqrt{2}}{2}=2^{-1/2}\quad\Rightarrow\quad \ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)=-\tfrac{1}{2}\ln 2.
Portanto
\text{Área}=2\bigl(-(-\tfrac{1}{2}\ln 2)\bigr)=\ln 2.Á
Como checagem rápida, numericamente \ln 2\approx 0{,}6931, um valor razoável para a área dessa fatia.

Resposta

\ln 2

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