Determine a área da região delimitada
pelos gráficos de
e
e as retas
e
.
pelos gráficos de
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e as duas retas verticais que limitam a região:
-
. -
. - As retas verticais:
e .
A pergunta é: determinar a área da região delimitada pelos gráficos de
e
e pelas retas
e
.
Passo 2
Antes de integrar, é preciso saber qual função é a “superior” (a que fica em cima) e qual é a “inferior” no intervalo
. Vamos comparar
e
.
Calcule a diferença
O sinal de
determina quem é maior:
- Se
(ou seja, ) então e está acima de . - Se
(ou seja, ) então e está acima de .
No pontotemos e então ; as curvas se encontram aí.
Como o intervalo
atravessa
, a posição relativa das curvas troca em
. Isso implica que devemos dividir a integral em dois trechos:
e
.
Passo 3
A fórmula para a área entre duas curvas (quando as curvas são funções de
) é a integral do topo menos o fundo. Como o topo muda em
, escrevemos a área
como a soma de duas integrais:
Passo 4
Usando
, podemos simplificar as expressões:
Portanto
Passo 5
Agora precisamos calcular
. Isso é feito por integração por partes. Tomando
e
, obtemos
e
. A fórmula de integração por partes é
Aplicando:
Portanto a primitiva de
é
.
Passo 6
Calcule as integrais definidas usando a primitiva
.
Primeiro
Como
e
, isso vira
Segundo
Passo 7
Volte à expressão para
:
Calcule dentro dos parênteses passo a passo:
então
Multiplicando por
:
Passo 8
Breve comentário final: a área obtida é uma expressão exata. Numericamente, usando
, tem-se
. Vai tranquilo — a técnica é sempre: identificar top/fundo, dividir onde trocam, integrar (usando integração por partes quando aparece
) e calcular as primitivas à mão.