Determine a área da região delimitada
pelos gráficos de f(x)=\frac{\ln x}{4} e g(x)=-\ln x e as retas x=\frac{1}{2} e x=2.

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e as duas retas verticais que limitam a região:
  • f(x)=\dfrac{\ln x}{4}.
  • g(x)=-\ln x.
  • As retas verticais: x=\dfrac{1}{2} e x=2.
A pergunta é: determinar a área da região delimitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x=\dfrac{1}{2} e x=2.

Passo 2

Antes de integrar, é preciso saber qual função é a “superior” (a que fica em cima) e qual é a “inferior” no intervalo \left[\dfrac{1}{2},2\right]. Vamos comparar f(x) e g(x).
Calcule a diferença
f(x)-g(x)=\frac{\ln x}{4}-(-\ln x)=\frac{5}{4}\ln x.
O sinal de \ln x determina quem é maior:
  • Se \ln x>0 (ou seja, x>1) então f(x)-g(x)>0 e f(x) está acima de g(x).
  • Se \ln x<0 (ou seja, 0<x<1) então f(x)-g(x)<0 e g(x) está acima de f(x).
    No ponto x=1 temos \ln 1=0 e então f(1)=g(1)=0; as curvas se encontram aí.
Como o intervalo \left[\dfrac{1}{2},2\right] atravessa x=1, a posição relativa das curvas troca em x=1. Isso implica que devemos dividir a integral em dois trechos: \left[\dfrac{1}{2},1\right] e [1,2].

Passo 3

A fórmula para a área entre duas curvas (quando as curvas são funções de x) é a integral do topo menos o fundo. Como o topo muda em x=1, escrevemos a área A como a soma de duas integrais:
A=\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx+\int_{1}^{2}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.

Passo 4

Usando f(x)-g(x)=\dfrac{5}{4}\ln x, podemos simplificar as expressões:
g(x)-f(x)=-\frac{5}{4}\ln x,\qquad f(x)-g(x)=\frac{5}{4}\ln x.
Portanto
A=\frac{5}{4}\left(-\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}\ln x\,dx+\int_{1}^{2}\ln x\,dx\right).

Passo 5

Agora precisamos calcular \int \ln x\,dx. Isso é feito por integração por partes. Tomando u=\ln x e dv=dx, obtemos du=\dfrac{1}{x}dx e v=x. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aplicando:
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C.
Portanto a primitiva de \ln x é x\ln x - x.

Passo 6

Calcule as integrais definidas usando a primitiva x\ln x - x.
Primeiro
\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}\ln x\,dx=\bigl[x\ln x - x\bigr]_{\tfrac{1}{2}}^{1} =(1\cdot\ln 1-1)-\Bigl(\tfrac{1}{2}\ln\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\Bigr).
Como \ln 1=0 e \ln\tfrac{1}{2}=-\ln 2, isso vira
\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}\ln x\,dx=-1-\Bigl(-\tfrac{1}{2}\ln 2-\tfrac{1}{2}\Bigr) =-1+\tfrac{1}{2}\ln 2+\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}(\ln 2-1).
Segundo
\int_{1}^{2}\ln x\,dx=\bigl[x\ln x - x\bigr]_{1}^{2} =(2\ln 2-2)-(1\cdot\ln 1-1)=2\ln 2-2+1=2\ln 2-1.

Passo 7

Volte à expressão para A:
A=\frac{5}{4}\left(-\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}\ln x\,dx+\int_{1}^{2}\ln x\,dx\right) =\frac{5}{4}\Bigl(-\tfrac{1}{2}(\ln 2-1)+(2\ln 2-1)\Bigr).
Calcule dentro dos parênteses passo a passo:
-\tfrac{1}{2}(\ln 2-1)= -\tfrac{1}{2}\ln 2+\tfrac{1}{2},
então
-\tfrac{1}{2}\ln 2+\tfrac{1}{2}+2\ln 2-1 = \left(-\tfrac{1}{2}+2\right)\ln 2 +\left(\tfrac{1}{2}-1\right) =\tfrac{3}{2}\ln 2 -\tfrac{1}{2}.
Multiplicando por \dfrac{5}{4}:
A=\frac{5}{4}\cdot\left(\tfrac{3}{2}\ln 2 -\tfrac{1}{2}\right) =\frac{5}{8}\bigl(3\ln 2 -1\bigr).

Passo 8

Breve comentário final: a área obtida é uma expressão exata. Numericamente, usando \ln 2\approx0{,}693147, tem-se A\approx0{,}675. Vai tranquilo — a técnica é sempre: identificar top/fundo, dividir onde trocam, integrar (usando integração por partes quando aparece \ln x) e calcular as primitivas à mão.

Resposta

\dfrac{5}{8}\bigl(3\ln 2 -1\bigr)

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