Mostre que todas as soluções de
[Eq. (41) do texto] tendem a um limite quando
e encontre o valor desse limite.
Sugestão: Considere a solução geral, Eq. (47), e use a regra de L’Hôpital no primeiro termo.
Sugestão: Considere a solução geral, Eq. (47), e use a regra de L’Hôpital no primeiro termo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que todas as soluções tendem a um limite quando
e encontrar esse limite. Vou assumir que
é uma constante real (isso é natural no enunciado). As perguntas claras são:
- Mostrar que para as soluções gerais de
existe ; - Determinar qual é esse limite (dependendo de
).
Também é útil listar as informações relevantes:
- A equação é linear de primeira ordem com coeficientes constantes.
- Podemos reescrever dividindo por
como
Passo 2
Vou resolver a equação de forma explícita (método do fator integrante), explicando cada passo como se estivéssemos na prova.
Passo técnico (fator integrante):
- A equação tem a forma padrão
com e . - O fator integrante é
Aquié uma função que multiplicada na equação torna o lado esquerdo a derivada de .
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, logo
Integrando em
:
onde
é a constante de integração (determina a solução geral). A integral no lado direito é imediata:
Isolando
obtemos a solução geral (para
):
Explicação das partes: a parcela
é a solução geral da homogênea e
é uma solução particular (constante) da equação completa.
Passo 3
Agora vamos estudar o limite quando
da solução geral
.
Primeiro observe a parcela exponencial
. Ela é fácil de entender:
- Se
, então e quando , portanto . Assim .
Para formalizar com a sugestão do enunciado (regra de L’Hôpital) pode-se escrevere aplicar L’Hôpital ao quociente : derivando numerador e denominador dá logo a parcela exponencial tende a . - Se
, a equação original é , então e não há limite finito (diverge para quando ). - Se
, então e cresce exponencialmente; a solução em geral diverge (não tem limite finito) a menos que a constante seja escolhida especificamente para cancelar o crescimento (caso degenerate e raro).
Passo 4
Conclusão para o caso natural
(provavelmente o caso pedido):
- A parcela
tende a quando . - A parcela constante
permanece.
Portanto toda solução tende para
Para completar, as demais situações:
- Se
então (não existe limite finito), pois . - Se
em geral não existe (soluções explodem exponencialmente), salvo a possível escolha especial de que anule o termo que cresce (caso que leva à solução constante , mas essa constante também é finita negativa quando ; contudo a homogênea cresce e em geral impede convergência).
Resposta
Para
:
Para :
(não existe limite finito).
Para :
em geral não existe (soluções divergem exponencialmente).
Para
Para