Mostre que todas as soluções de 2 y^{\prime}+r y=2 [Eq. (41) do texto] tendem a um limite quando t \rightarrow \infty e encontre o valor desse limite.
Sugestão: Considere a solução geral, Eq. (47), e use a regra de L’Hôpital no primeiro termo.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2\,y'(t)+r\,y(t)=2,
e pede para mostrar que todas as soluções tendem a um limite quando t\to\infty e encontrar esse limite. Vou assumir que r é uma constante real (isso é natural no enunciado). As perguntas claras são:
  • Mostrar que para as soluções gerais de \;2y'+r y=2\; existe \lim_{t\to\infty} y(t);
  • Determinar qual é esse limite (dependendo de r).
Também é útil listar as informações relevantes:
  • A equação é linear de primeira ordem com coeficientes constantes.
  • Podemos reescrever dividindo por 2 como
y'(t)+\frac{r}{2}y(t)=1.

Passo 2

Vou resolver a equação de forma explícita (método do fator integrante), explicando cada passo como se estivéssemos na prova.
Passo técnico (fator integrante):
  • A equação tem a forma padrão y'(t)+a\,y(t)=b(t) com a=\dfrac{r}{2} e b(t)=1.
  • O fator integrante é \mu(t)=\exp\!\Big(\int a\,dt\Big)=\exp\!\Big(\int \frac{r}{2}\,dt\Big)=e^{\frac{r}{2}t}.
    Aqui \mu(t) é uma função que multiplicada na equação torna o lado esquerdo a derivada de \mu(t)y(t).
Multiplicando a equação por \mu(t):
e^{\frac{r}{2}t}y'(t)+\frac{r}{2}e^{\frac{r}{2}t}y(t)=e^{\frac{r}{2}t}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{\frac{r}{2}t}y(t), logo
\frac{d}{dt}\!\Big(e^{\frac{r}{2}t}y(t)\Big)=e^{\frac{r}{2}t}.
Integrando em t:
e^{\frac{r}{2}t}y(t)=\int e^{\frac{r}{2}t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração (determina a solução geral). A integral no lado direito é imediata:
\int e^{\frac{r}{2}t}\,dt=\frac{2}{r}e^{\frac{r}{2}t}\quad\text{se }r\neq0.
Isolando y(t) obtemos a solução geral (para r\neq0):
y(t)=e^{-\frac{r}{2}t}\,C \;+\; e^{-\frac{r}{2}t}\cdot\frac{2}{r}e^{\frac{r}{2}t} \;=\;C e^{-\frac{r}{2}t}+\frac{2}{r}.
Explicação das partes: a parcela C e^{-\frac{r}{2}t} é a solução geral da homogênea e \dfrac{2}{r} é uma solução particular (constante) da equação completa.

Passo 3

Agora vamos estudar o limite quando t\to\infty da solução geral \;y(t)=C e^{-\frac{r}{2}t}+\dfrac{2}{r}\;.
Primeiro observe a parcela exponencial C e^{-\frac{r}{2}t}. Ela é fácil de entender:
  • Se r>0, então \dfrac{r}{2}>0 e e^{\frac{r}{2}t}\to\infty quando t\to\infty, portanto e^{-\frac{r}{2}t}=\dfrac{1}{e^{\frac{r}{2}t}}\to0. Assim C e^{-\frac{r}{2}t}\to0.
    Para formalizar com a sugestão do enunciado (regra de L’Hôpital) pode-se escrever C e^{-\frac{r}{2}t}=\frac{C}{e^{\frac{r}{2}t}}e aplicar L’Hôpital ao quociente \dfrac{C}{e^{\frac{r}{2}t}}: derivando numerador e denominador dá \lim_{t\to\infty}\frac{0}{\frac{r}{2}e^{\frac{r}{2}t}}=0,logo a parcela exponencial tende a 0.
  • Se r=0, a equação original é 2y'=2\Rightarrow y'=1, então y(t)=t+C e não há limite finito (diverge para +\infty quando t\to\infty).
  • Se r<0, então -\dfrac{r}{2}>0 e e^{-\frac{r}{2}t}=e^{|r|t/2} cresce exponencialmente; a solução em geral diverge (não tem limite finito) a menos que a constante C seja escolhida especificamente para cancelar o crescimento (caso degenerate e raro).

Passo 4

Conclusão para o caso natural r>0 (provavelmente o caso pedido):
  • A parcela C e^{-\frac{r}{2}t} tende a 0 quando t\to\infty.
  • A parcela constante \dfrac{2}{r} permanece.
    Portanto toda solução tende para
\lim_{t\to\infty} y(t)=\frac{2}{r}\quad\text{quando }r>0.
Para completar, as demais situações:
  • Se r=0 então \lim_{t\to\infty} y(t)=\infty (não existe limite finito), pois y(t)=t+C.
  • Se r<0 em geral \lim_{t\to\infty} y(t) não existe (soluções explodem exponencialmente), salvo a possível escolha especial de C que anule o termo que cresce (caso que leva à solução constante \dfrac{2}{r}, mas essa constante também é finita negativa quando r<0; contudo a homogênea cresce e em geral impede convergência).

Resposta

Para r>0: \displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t)=\frac{2}{r}.
Para r=0: \displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t)=\infty (não existe limite finito).
Para r<0: \displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t) em geral não existe (soluções divergem exponencialmente).

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