Dê exemplo de uma integral que é possível ser aproximada usando Newton-Cotes aberta mas não é possível ser aproximada usando NewtonCotes fechada.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de integral que podemos tratar com fórmulas de Newton–Cotes abertas mas em que as fechadas falham. O conteúdo envolve entender a diferença entre as regras abertas e fechadas de Newton–Cotes e escolher uma função com singularidade nos extremos do intervalo.

Passo 2

As regras de Newton–Cotes fechadas usam pontos nos extremos do intervalo, ou seja, elas exigem avaliar f(a) e f(b). Se f não estiver definida em a ou em b, não podemos aplicar essas regras. Já as abertas evitam avaliar nos extremos, usando apenas pontos interiores ao intervalo.

Passo 3

Uma escolha clássica é a função f(x)=x^{−1/2} no intervalo [0,1]. A integral imprópria
integral0^1 x^-12 , dx
converge e vale 2, mas f(0)=∞ torna impossível avaliar f no extremo a=0. Portanto, nenhuma fórmula fechada de Newton–Cotes pode ser aplicada.

Passo 4

Como as regras abertas só usam pontos interiores (por exemplo, a regra do ponto médio avalia f(1/2)), podemos aproximar integral0^1 x^-1/2dx por Newton–Cotes aberta sem nunca precisar de f(0). Assim temos o exemplo requerido.

Resposta

integral0^1 x^-12 , dx

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