Determinar as trajetórias ortogonais às curvas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma família de curvas definidas por
, onde
é uma constante. Nosso objetivo é encontrar as trajetórias ortogonais a essas curvas. Trajetórias ortogonais são aquelas que cruzam as curvas dadas formando um ângulo reto (90 graus).
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo diferencial, especificamente de como encontrar a derivada de uma função e usar isso para determinar a inclinação das curvas ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. Isso nos dará a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva. Usando a regra de potência, temos:
Passo 3
Agora, lembrando que
, podemos expressar
em termos de
e
:
Substituindo isso na expressão da derivada, temos:
Então, a inclinação das tangentes das curvas
é
.
Passo 4
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos que a inclinação dessas trajetórias seja o negativo do inverso da inclinação das curvas originais. Ou seja:
Então, a equação diferencial para as trajetórias ortogonais é:
Passo 5
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 6
Calculando as integrais, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Podemos renomear
como uma nova constante
:
Resposta
As trajetórias ortogonais às curvas
são dadas por: