Determine a área da região descrita.
A região englobada pela rosácea
.
A região englobada pela rosácea
Passo 1
O enunciado pede para determinar a área da região englobada pela rosácea dada pela equação polar
.
Informações fornecidas:
- A curva é dada em coordenadas polares pela relação
. - Deseja-se a área da região “englobada” por essa curva (área total contida na rosácea).
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar). Em coordenadas polares, a área
de uma região descrita por
obtida quando
varia de
a
é dada por
Por que essa fórmula funciona? Imagine um pequeno intervalo angular
. O setor de círculo de raio
e ângulo
tem área aproximadamente
. Somando (integrando) esses setores ao longo do ângulo obtém-se a área total da região polar.
Aqui,
. As variáveis significam:
-
é a distância do ponto à origem em função do ângulo . -
é o ângulo polar. -
é um pequeno incremento de ângulo.
Passo 3
Escolha dos limites de integração. A função
tem período
, logo a curva inteira se completa quando
varia em um intervalo de comprimento
(cobrindo todos os sinais e repetições da curva em polares é seguro integrar
de
até
). Assim, para obter a área total da rosácea basta calcular
Passo 4
Simplificar a integranda. Calculando
:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Usar uma identidade trigonométrica para integrar
. A identidade é
Aplicando com
obtemos
Substituindo na integral:
Passo 6
Calcular a integral final. Integramos termo a termo:
Portanto
Passo 7
Interpretação e observação extras (úteis na prova). A rosácea
tem
pétalas (pois para
a forma
produz
pétalas). A área total que calculamos é
; assim a área de cada pétala é
. Isso pode servir como checagem rápida em exame: integrar apenas sobre o intervalo angular de uma pétala e multiplicar por 4 deve dar o mesmo resultado.