Determine a área da região descrita.
A região englobada pela rosácea r=2 \operatorname{sen} 2 \theta.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área da região englobada pela rosácea dada pela equação polar r=2\sin 2\theta.
Informações fornecidas:
  • A curva é dada em coordenadas polares pela relação r=2\sin 2\theta.
  • Deseja-se a área da região “englobada” por essa curva (área total contida na rosácea).

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar). Em coordenadas polares, a área A de uma região descrita por r = r(\theta) obtida quando \theta varia de \alpha a \beta é dada por
A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^2\,d\theta.
Por que essa fórmula funciona? Imagine um pequeno intervalo angular d\theta. O setor de círculo de raio r e ângulo d\theta tem área aproximadamente \tfrac{1}{2}r^2\,d\theta. Somando (integrando) esses setores ao longo do ângulo obtém-se a área total da região polar.
Aqui, r(\theta)=2\sin 2\theta. As variáveis significam:
  • r(\theta) é a distância do ponto à origem em função do ângulo \theta.
  • \theta é o ângulo polar.
  • d\theta é um pequeno incremento de ângulo.

Passo 3

Escolha dos limites de integração. A função \sin 2\theta tem período \pi, logo a curva inteira se completa quando \theta varia em um intervalo de comprimento 2\pi (cobrindo todos os sinais e repetições da curva em polares é seguro integrar \theta de 0 até 2\pi). Assim, para obter a área total da rosácea basta calcular
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \bigl(2\sin 2\theta\bigr)^2\,d\theta.

Passo 4

Simplificar a integranda. Calculando r^2:
r(\theta)^2=\bigl(2\sin 2\theta\bigr)^2=4\sin^2 2\theta.
Substituindo na fórmula da área:
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 4\sin^2 2\theta\,d\theta = 2\int_{0}^{2\pi} \sin^2 2\theta\,d\theta.

Passo 5

Usar uma identidade trigonométrica para integrar \sin^2. A identidade é
\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.
Aplicando com x=2\theta obtemos
\sin^2 2\theta=\frac{1-\cos 4\theta}{2}.
Substituindo na integral:
A=2\int_{0}^{2\pi} \frac{1-\cos 4\theta}{2}\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \bigl(1-\cos 4\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral final. Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta = \bigl[\theta\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi,
\int_{0}^{2\pi} \cos 4\theta\,d\theta = \left[\frac{\sin 4\theta}{4}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{\sin(8\pi)-\sin 0}{4}=0.
Portanto
A=2\pi-0=2\pi.

Passo 7

Interpretação e observação extras (úteis na prova). A rosácea r=2\sin 2\theta tem 4 pétalas (pois para n=2 a forma r=a\sin n\theta produz 2n=4 pétalas). A área total que calculamos é 2\pi; assim a área de cada pétala é \dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}. Isso pode servir como checagem rápida em exame: integrar apenas sobre o intervalo angular de uma pétala e multiplicar por 4 deve dar o mesmo resultado.

Resposta

2\pi

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