Calcule a matriz Hessian a e a form a quadrática Hessian a para as seguintes funções nos pontos especificados.
(c) \alpha(x, y, z)=x y+x z+y z ;(1,1,1)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função \alpha(x,y,z)=x y+x z+y z no ponto (1,1,1):
Calcular a matriz Hessiana de \alpha no ponto (1,1,1).
Calcular a forma quadrática Hessiana associada a essa matriz (isto é, a forma quadrática \mathbf{h}^\top H \mathbf{h}, onde \mathbf{h} é um vetor de incrementos).
Informações dadas:
Função: \alpha(x,y,z)=x y+x z+y z.
Ponto onde avaliar: (1,1,1).
Passo 2
O que é a matriz Hessiana e como vamos calculá‑la (conceito):
A matriz Hessiana de uma função de várias variáveis é a matriz dos segundos derivados parciais. Para uma função f(x_1,\dots,x_n) a Hessiana é
Na prática: primeiro calculamos as derivadas parciais primeiras, depois derivamos cada uma delas em relação a cada variável para obter as segundas derivadas.
Se as segundas derivadas mistas são contínuas, vale a simetria \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i} (isso reduz trabalho e garante Hessiana simétrica).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras de \alpha. Lembrando: ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Derivada em relação a x:
\frac{\partial \alpha}{\partial x}=y+z.
Derivada em relação a y:
\frac{\partial \alpha}{\partial y}=x+z.
Derivada em relação a z:
\frac{\partial \alpha}{\partial z}=x+y.
Passo 4
Calcular as segundas derivadas parciais (cada derivada primeira derivada em relação a cada variável).
Como as derivadas segundas são constantes, a Hessiana no ponto (1,1,1) é exatamente essa mesma matriz.]
Passo 6
Definir e calcular a forma quadrática Hessiana associada. Seja \mathbf{h}=(h_1,h_2,h_3)^\top (por exemplo \mathbf{h}=(\Delta x,\Delta y,\Delta z)^\top). A forma quadrática associada à matriz H é