Calcule a matriz Hessian a e a form a quadrática Hessian a para as seguintes funções nos pontos especificados.
(c) \alpha(x, y, z)=x y+x z+y z ;(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função \alpha(x,y,z)=x y+x z+y z no ponto (1,1,1):
  • Calcular a matriz Hessiana de \alpha no ponto (1,1,1).
  • Calcular a forma quadrática Hessiana associada a essa matriz (isto é, a forma quadrática \mathbf{h}^\top H \mathbf{h}, onde \mathbf{h} é um vetor de incrementos).
Informações dadas:
  • Função: \alpha(x,y,z)=x y+x z+y z.
  • Ponto onde avaliar: (1,1,1).

Passo 2

O que é a matriz Hessiana e como vamos calculá‑la (conceito):
  • A matriz Hessiana de uma função de várias variáveis é a matriz dos segundos derivados parciais. Para uma função f(x_1,\dots,x_n) a Hessiana é
\nabla^2 f(a)=\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)\right)_{i,j}.
  • Na prática: primeiro calculamos as derivadas parciais primeiras, depois derivamos cada uma delas em relação a cada variável para obter as segundas derivadas.
  • Se as segundas derivadas mistas são contínuas, vale a simetria \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i} (isso reduz trabalho e garante Hessiana simétrica).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras de \alpha. Lembrando: ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
  • Derivada em relação a x:
\frac{\partial \alpha}{\partial x}=y+z.
  • Derivada em relação a y:
\frac{\partial \alpha}{\partial y}=x+z.
  • Derivada em relação a z:
\frac{\partial \alpha}{\partial z}=x+y.

Passo 4

Calcular as segundas derivadas parciais (cada derivada primeira derivada em relação a cada variável).
  • Derivando \frac{\partial \alpha}{\partial x}=y+z:
\frac{\partial^2 \alpha}{\partial x^2}=0,\qquad \frac{\partial^2 \alpha}{\partial x\partial y}=1,\qquad \frac{\partial^2 \alpha}{\partial x\partial z}=1.
  • Derivando \frac{\partial \alpha}{\partial y}=x+z:
\frac{\partial^2 \alpha}{\partial y^2}=0,\qquad \frac{\partial^2 \alpha}{\partial y\partial x}=1,\qquad \frac{\partial^2 \alpha}{\partial y\partial z}=1.
  • Derivando \frac{\partial \alpha}{\partial z}=x+y:
\frac{\partial^2 \alpha}{\partial z^2}=0,\qquad \frac{\partial^2 \alpha}{\partial z\partial x}=1,\qquad \frac{\partial^2 \alpha}{\partial z\partial y}=1.
Note que as mistas conferem com a simetria esperada.

Passo 5

Montar a matriz Hessiana geral (independente do ponto, neste caso as segundas derivadas são constantes) na ordem (x,y,z):
H=\nabla^2\alpha= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 \alpha}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 \alpha}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^2 \alpha}{\partial x\partial z} \\\ \frac{\partial^2 \alpha}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 \alpha}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 \alpha}{\partial y\partial z} \\\ \frac{\partial^2 \alpha}{\partial z\partial x} & \frac{\partial^2 \alpha}{\partial z\partial y} & \frac{\partial^2 \alpha}{\partial z^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Como as derivadas segundas são constantes, a Hessiana no ponto (1,1,1) é exatamente essa mesma matriz.]

Passo 6

Definir e calcular a forma quadrática Hessiana associada. Seja \mathbf{h}=(h_1,h_2,h_3)^\top (por exemplo \mathbf{h}=(\Delta x,\Delta y,\Delta z)^\top). A forma quadrática associada à matriz H é
Q(\mathbf{h})=\mathbf{h}^\top H \mathbf{h}.
Fazendo a multiplicação:
\mathbf{h}^\top H \mathbf{h} = \begin{pmatrix}h_1 & h_2 & h_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}h_1\h_2\h_3\end{pmatrix}.
Calcule passo a passo: primeiro H\mathbf{h}=(h_2+h_3,\;h_1+h_3,\;h_1+h_2)^\top. Então
Q(\mathbf{h})=h_1(h_2+h_3)+h_2(h_1+h_3)+h_3(h_1+h_2).
Agrupando termos iguais obtém‑se
Q(\mathbf{h})=2(h_1h_2+h_1h_3+h_2h_3).

Passo 7

Pequena verificação/exemplos para fixar:
  • Para \mathbf{h}=(1,0,0): Q=0.
  • Para \mathbf{h}=(1,1,0): Q=2(1\cdot1+1\cdot0+1\cdot0)=2.
    Isso ajuda a confiar no resultado.

Resposta

\nabla^2\alpha(1,1,1)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
Q(\mathbf{h})=\mathbf{h}^\top \nabla^2\alpha(1,1,1)\,\mathbf{h}=2\big(h_1h_2+h_1h_3+h_2h_3\big)]

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