Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas: a expressão a limitar é
e a variável
tende para
. Não há outras condições ou imagens necessárias.
Passo 2
Primeira verificação: tentar substituir
diretamente para ver se o limite é imediato. Substituindo,
que é uma forma indeterminada. Ou seja, a substituição direta não dá resposta — precisamos manipular a expressão antes de tomar o limite. Forma indeterminada significa que a expressão não tem valor definido por simples substituição e que devemos simplificar ou usar outro método.
Passo 3
Vamos manipular o numerador expandindo o quadrado. Usamos a fórmula
. Aqui
e
, então
Subtraindo
(o que aparece no numerador) obtemos
Passo 4
Agora fatoramos o polinômio
. Fator comum
:
Fatorar é útil porque o denominador também tem um fator
, então podemos simplificar.
Passo 5
Substituindo o numerador fatorado na fração e simplificando (válido para
; isso é suficiente para o cálculo do limite) obtemos
Explicação: podemos cancelar o fator
porque estamos analisando o comportamento quando
se aproxima de
, não o valor exatamente em
.
Passo 6
Agora que a expressão foi simplificada para uma função contínua perto de
, calculamos o limite por substituição direta:
Polinômios e funções do tipo
são contínuos, então o limite é simplesmente o valor na própria ponto.
Passo 7
Comentário extra (útil para prova): essa mesma resposta poderia ser vista como a derivada de
em
via quociente incremental padrão, pois
mas para questões de prova a técnica algébrica de fatoração e cancelamento geralmente é a mais direta e segura.