\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^{2}-1}{x}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{(x+1)^{2}-1}{x}.
Informações dadas: a expressão a limitar é \frac{(x+1)^{2}-1}{x} e a variável x tende para \,0. Não há outras condições ou imagens necessárias.

Passo 2

Primeira verificação: tentar substituir x=0 diretamente para ver se o limite é imediato. Substituindo,
\frac{(0+1)^{2}-1}{0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0},
que é uma forma indeterminada. Ou seja, a substituição direta não dá resposta — precisamos manipular a expressão antes de tomar o limite. Forma indeterminada significa que a expressão não tem valor definido por simples substituição e que devemos simplificar ou usar outro método.

Passo 3

Vamos manipular o numerador expandindo o quadrado. Usamos a fórmula (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Aqui a=x e b=1, então
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1.
Subtraindo 1 (o que aparece no numerador) obtemos
(x+1)^2 - 1 = x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 + 2x.

Passo 4

Agora fatoramos o polinômio x^2+2x. Fator comum x:
x^2 + 2x = x(x+2).
Fatorar é útil porque o denominador também tem um fator x, então podemos simplificar.

Passo 5

Substituindo o numerador fatorado na fração e simplificando (válido para x\neq 0; isso é suficiente para o cálculo do limite) obtemos
\frac{(x+1)^2 - 1}{x} = \frac{x(x+2)}{x} = x+2 \qquad (x\neq 0).
Explicação: podemos cancelar o fator x porque estamos analisando o comportamento quando x se aproxima de 0, não o valor exatamente em 0.

Passo 6

Agora que a expressão foi simplificada para uma função contínua perto de 0, calculamos o limite por substituição direta:
\lim_{x\to 0}(x+2)=0+2=2.
Polinômios e funções do tipo x+2 são contínuos, então o limite é simplesmente o valor na própria ponto.

Passo 7

Comentário extra (útil para prova): essa mesma resposta poderia ser vista como a derivada de f(x)=(x+1)^2 em x=0 via quociente incremental padrão, pois
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(0)=2,
mas para questões de prova a técnica algébrica de fatoração e cancelamento geralmente é a mais direta e segura.

Resposta

2

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