Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^4 - 2x^2 + 2 e y = 2 - x^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^4 - 2x^2 + 2 e y = 2 - x^2.
Informações dadas:
  • As funções são y_1(x)=x^4 - 2x^2 + 2 e y_2(x)=2 - x^2.
  • A região limitada é a zona fechada onde as duas curvas se encontram (entre pontos de interseção).
    Objetivo: encontrar os pontos de interseção em x, identificar qual curva está acima em cada intervalo e calcular a área da região limitada por integração.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção resolvendo x^4 - 2x^2 + 2 = 2 - x^2. Subtraindo o lado direito:
x^4 - 2x^2 + 2 - (2 - x^2)=0.
Simplificando:
x^4 - 2x^2 + 2 - 2 + x^2 = 0
x^4 - x^2 = 0.
Fatorando:
x^2(x^2 - 1)=0.
Portanto x^2=0 ou x^2=1, ou seja x=0 e x=\pm 1. Esses são os pontos de interseção.

Passo 3

Calculemos os valores de y nesses pontos (para saber as alturas):
  • Em x=0: y_2(0)=2-0^2=2 e y_1(0)=0^4-2\cdot0^2+2=2. (coincidem em y=2)
  • Em x=\pm 1: y_2(\pm1)=2-1=1 e y_1(\pm1)=1-2+2=1. (coincidem em y=1)
Para saber qual curva é superior entre -1 e 1, calculemos a diferença
y_2 - y_1 = (2 - x^2) - (x^4 - 2x^2 + 2).
Simplificando:
y_2 - y_1 = -x^4 + x^2 = x^2(1 - x^2).
Para |x|<1 temos 1-x^2>0 e x^2\ge0, então y_2 - y_1>0. Logo, no intervalo [-1,1] a curva y=2-x^2 está acima e y=x^4-2x^2+2 está abaixo. Fora desse intervalo a desigualdade inverte, mas a região limitada está entre -1 e 1.

Passo 4

Fórmula para a área entre duas curvas (no mesmo intervalo de x): se y_{\text{top}}(x) é a função superior e y_{\text{bot}}(x) a inferior, então a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui a=-1, b=1, y_{\text{top}}=2-x^2, y_{\text{bot}}=x^4-2x^2+2. Portanto o integrando é y_2-y_1 = x^2(1-x^2). Assim
\text{Área}=\int_{-1}^{1}\bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Observação útil: o integrando x^2 - x^4 é função par (mesmo), então podemos usar simetria:
\int_{-1}^{1}\bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx = 2\int_{0}^{1}\bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx.
Calculemos a primitiva: \displaystyle\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} e \displaystyle\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5}. Assim
\int_{0}^{1}\bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}.
Simplificando:
\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}.

Passo 6

Multiplicando pela simetria (fator 2):
\text{Área}=2\cdot\frac{2}{15}=\frac{4}{15}.Á
Portanto a área pedida é \dfrac{4}{15}.

Resposta

\dfrac{4}{15}

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