Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- As funções são
e . - A região limitada é a zona fechada onde as duas curvas se encontram (entre pontos de interseção).
Objetivo: encontrar os pontos de interseção em, identificar qual curva está acima em cada intervalo e calcular a área da região limitada por integração.
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção resolvendo
. Subtraindo o lado direito:
Simplificando:
Fatorando:
Portanto
ou
, ou seja
e
. Esses são os pontos de interseção.
Passo 3
Calculemos os valores de
nesses pontos (para saber as alturas):
- Em
: e . (coincidem em ) - Em
: e . (coincidem em )
Para saber qual curva é superior entre
e
, calculemos a diferença
Simplificando:
Para
temos
e
, então
. Logo, no intervalo
a curva
está acima e
está abaixo. Fora desse intervalo a desigualdade inverte, mas a região limitada está entre
e
.
Passo 4
Fórmula para a área entre duas curvas (no mesmo intervalo de
): se
é a função superior e
a inferior, então a área é
Aqui
,
,
,
. Portanto o integrando é
. Assim
Passo 5
Observação útil: o integrando
é função par (mesmo), então podemos usar simetria:
Calculemos a primitiva:
e
. Assim
Simplificando:
Passo 6
Multiplicando pela simetria (fator 2):
Portanto a área pedida é
.