Resolver as integrais a seguir, apresentando o desenvolvimento de forma organizada:
integral e^2 x cdot cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral integral e^2x cdot cos x , dx. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre integrais de funções que são produtos de exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é uma maneira de integrar produtos de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
A ideia é escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples ao derivar e dv como a que é fácil de integrar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = e^2x e dv = cos x , dx
Agora, precisamos calcular du e v.

Passo 4

Derivando u:
du = ddx e^2x , dx = 2e^2x , dx
Integrando dv:
v = integral cos x , dx = sin x

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral e^2x cdot cos x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
e^2x cdot sin x - integral sin x cdot 2e^2x , dx
Simplificando:
e^2x sin x - 2 integral e^2x sin x , dx

Passo 6

Agora, temos uma nova integral para resolver: integral e^2x sin x , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral. Desta vez, escolhemos:
u = e^2x e dv = sin x , dx
Calculando du e v:
du = 2e^2x , dx
v = -cos x

Passo 7

Aplicando a integração por partes nessa nova integral:
integral e^2x sin x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
e^2x (-cos x) - integral (-cos x) cdot 2e^2x , dx
Simplificando:
- e^2x cos x + 2 integral e^2x cos x , dx

Passo 8

Voltando à nossa equação anterior:
integral e^2x cdot cos x , dx = e^2x sin x - 2 ( - e^2x cos x + 2 integral e^2x cos x , dx )
Distribuindo o -2:
integral e^2x cos x , dx = e^2x sin x + 2 e^2x cos x - 4 integral e^2x cos x , dx

Passo 9

Agora, vamos juntar os termos com integral e^2x cos x , dx:
integral e^2x cos x , dx + 4 integral e^2x cos x , dx = e^2x sin x + 2 e^2x cos x
Somando os integrais:
5 integral e^2x cos x , dx = e^2x (sin x + 2 cos x)

Passo 10

Para isolar a integral, dividimos ambos os lados por 5:
integral e^2x cos x , dx = e^2x (sin x + 2 cos x)5 + C

Resposta

A integral integral e^2x cdot cos x , dx é igual a e^2x (sin x + 2 cos x)5 + C, onde C é a constante de integração.

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