Resolver as integrais a seguir, apresentando o desenvolvimento de forma organizada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre integrais de funções que são produtos de exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é uma maneira de integrar produtos de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
A ideia é escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples ao derivar e
como a que é fácil de integrar.
Passo 3
No nosso caso, vamos escolher:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Derivando
:
Integrando
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma nova integral para resolver:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral. Desta vez, escolhemos:
Calculando
e
:
Passo 7
Aplicando a integração por partes nessa nova integral:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à nossa equação anterior:
Distribuindo o
:
Passo 9
Agora, vamos juntar os termos com
:
Somando os integrais:
Passo 10
Para isolar a integral, dividimos ambos os lados por 5:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.