Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas no plano e pede a área da região limitada por elas. As curvas são:
e
O que nos pedem: calcular a área da região comum limitada por essas duas curvas (a “folha” encerrada entre elas). As informações importantes que temos são exatamente as duas equações acima; a região é a parte do plano onde as duas curvas se interceptam e formam uma região fechada.
Passo 2
Decidimos integrar em relação a
. Explico por quê (passo didático): quando as curvas estão dadas na forma
, fica muito natural usar “fatias” horizontais (retângulos de espessura
). Em cada
entre os pontos de interseção, a contribuição à área é o comprimento horizontal entre a curva mais à direita e a mais à esquerda, multiplicado por
. Portanto vamos:
- encontrar os pontos de interseção (valores de
), - determinar qual curva é a direita e qual é a esquerda no intervalo,
- montar a integral
- calcular.
Agora calculamos as interseções: igualamos as duas expressões para
:
Essa é uma equação quadrática; colocamos tudo no mesmo lado:
Fatorando (ou usando a fórmula quadrática), obtemos
logo as soluções são
Esses são os limites em
da região fechada.
Passo 3
Precisamos saber, para
entre
e
, qual curva dá o valor de
maior (direita) e qual dá o menor (esquerda). Consideramos a diferença
Se
então
está à direita de
. Testamos um valor fácil, por exemplo
:
Como
muda de sinal apenas nas interseções e entre
e
o teste em
deu positivo, concluímos que, para todo
,
Geometricamente: a reta
fica à direita da parábola
ao longo do intervalo de interesse.
Passo 4
Agora montamos a integral para a área usando fatias horizontais. A fórmula básica é:
Substituindo os limites e as curvas que já identificamos:
Aqui estou explicitando o que cada termo significa:
é o valor de
da fronteira direita,
da fronteira esquerda, e a diferença é o comprimento horizontal da fatia a uma altura
.
Passo 5
Calculamos a integral passo a passo. Primeiro achamos uma primitiva (antiderivada):
Computando cada uma:
Portanto uma primitiva é
Agora avaliamos entre os limites
e
:
A área é
:
Se preferir em decimal,
.