Determine a área da região limitada pelas curvas x = y^2 e x = y + 2.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas no plano e pede a área da região limitada por elas. As curvas são:
x = y^2
e
x = y + 2.
O que nos pedem: calcular a área da região comum limitada por essas duas curvas (a “folha” encerrada entre elas). As informações importantes que temos são exatamente as duas equações acima; a região é a parte do plano onde as duas curvas se interceptam e formam uma região fechada.

Passo 2

Decidimos integrar em relação a y. Explico por quê (passo didático): quando as curvas estão dadas na forma x = f(y), fica muito natural usar “fatias” horizontais (retângulos de espessura dy). Em cada y entre os pontos de interseção, a contribuição à área é o comprimento horizontal entre a curva mais à direita e a mais à esquerda, multiplicado por dy. Portanto vamos:
  1. encontrar os pontos de interseção (valores de y),
  2. determinar qual curva é a direita e qual é a esquerda no intervalo,
  3. montar a integral
  4. calcular.
Agora calculamos as interseções: igualamos as duas expressões para x:
y^2 = y + 2.
Essa é uma equação quadrática; colocamos tudo no mesmo lado:
y^2 - y - 2 = 0.
Fatorando (ou usando a fórmula quadrática), obtemos
(y-2)(y+1)=0,
logo as soluções são
y = 2 \quad\text{e}\quad y = -1.
Esses são os limites em y da região fechada.

Passo 3

Precisamos saber, para y entre -1 e 2, qual curva dá o valor de x maior (direita) e qual dá o menor (esquerda). Consideramos a diferença
g(y) = (y+2) - y^2.
Se g(y)\ge 0 então x=y+2 está à direita de x=y^2. Testamos um valor fácil, por exemplo y=0:
g(0) = 0+2 - 0 = 2 > 0.
Como g(y) muda de sinal apenas nas interseções e entre -1 e 2 o teste em y=0 deu positivo, concluímos que, para todo y\in[-1,2],
x_{\text{direita}} = y+2,\qquad x_{\text{esquerda}} = y^2.
Geometricamente: a reta x=y+2 fica à direita da parábola x=y^2 ao longo do intervalo de interesse.

Passo 4

Agora montamos a integral para a área usando fatias horizontais. A fórmula básica é:
\text{Área}=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}} \big(x_{\text{direita}} - x_{\text{esquerda}}\big)\,dy.Á
Substituindo os limites e as curvas que já identificamos:
\text{Área}=\int_{-1}^{2} \big[(y+2) - y^2\big]\,dy.Á
Aqui estou explicitando o que cada termo significa: y+2 é o valor de x da fronteira direita, y^2 da fronteira esquerda, e a diferença é o comprimento horizontal da fatia a uma altura y.

Passo 5

Calculamos a integral passo a passo. Primeiro achamos uma primitiva (antiderivada):
\int \big[(y+2) - y^2\big]\,dy = \int y\,dy + \int 2\,dy - \int y^2\,dy.
Computando cada uma:
\int y\,dy = \frac{1}{2}y^2,\qquad \int 2\,dy = 2y,\qquad \int y^2\,dy = \frac{1}{3}y^3.
Portanto uma primitiva é
F(y)=\frac{1}{2}y^2 + 2y - \frac{1}{3}y^3.
Agora avaliamos entre os limites y=-1 e y=2:
F(2)=\frac{1}{2}\cdot 2^2 + 2\cdot 2 - \frac{1}{3}\cdot 2^3 = \frac{1}{2}\cdot 4 + 4 - \frac{8}{3} =2 + 4 - \frac{8}{3} =6 - \frac{8}{3} =\frac{10}{3}.
F(-1)=\frac{1}{2}\cdot (-1)^2 + 2\cdot(-1) - \frac{1}{3}\cdot(-1)^3 = \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = \frac{3 -12 +2}{6} = -\frac{7}{6}.
A área é F(2)-F(-1):
\text{Área}=\frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}.Á
Se preferir em decimal, \frac{9}{2}=4{,}5.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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