Determine a área da região limitada pelas curvas y = |x| e y = x + 1.

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a área da região limitada pelas curvas y=|x| e y=x+1".
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • As duas curvas são y=|x| e y=x+1.
  • Precisamos verificar onde elas se interceptam e se formam uma região fechada (limitada). Se houver região limitada, calcular sua área. Se não houver, dizer isso claramente.

Passo 2

Entender a função valor absoluto y=|x|\) de forma prática (passo teórico necessário). O valor absoluto é definido por partes: \[y=|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[6pt] -x, & x<0. \end{cases}
Explicação curta: para x\ge0\] o gráfico é a reta \(y=x (ramo direito do “V”); para x<0 o gráfico é a reta y=-x (ramo esquerdo do “V”), e os dois ramos encontram-se no vértice (0,0).]

Passo 3

Procurar pontos de interseção entre y=|x| e y=x+1. Como y=|x| é peça por peça, resolvemos separadamente nas duas regiões.
  • Caso x\ge 0: substituímos y=x. Igualando:
x = x+1.
Subtraindo x dos dois lados obtém-se 0=1, impossível. Conclusão: não há interseção para x\ge0.
  • Caso x<0: substituímos y=-x. Igualando:
-x = x+1.
Somando x aos dois lados:
0 = 2x + 1 \quad\Rightarrow\quad 2x = -1 \quad\Rightarrow\quad x = -\tfrac{1}{2}.
Como x=-\tfrac{1}{2}<0, é solução válida. O ponto de interseção é
\bigl(-\tfrac{1}{2},\, -(-\tfrac{1}{2})\bigr)=\bigl(-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 4

Interpretação geométrica das interseções (importante para saber se existe região fechada). Resumo do posicionamento relativo:
  • Para x\ge0 temos o ramo direito y=x. A reta y=x+1 é paralela a este ramo (mesma inclinação 1) e está sempre uma unidade acima, pois x+1-(x)=1. Portanto nunca se encontram no ramo direito.
  • No ramo esquerdo ( x<0), a reta e o ramo se cruzam em \bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr). Para x<- \tfrac{1}{2} o ramo esquerdo y=-x fica acima da reta y=x+1; para -\tfrac{1}{2}<x<0 a reta fica acima do ramo esquerdo.
  • Como há apenas um ponto de interseção entre as duas curvas, não existe um laço fechado formado exclusivamente por elas. Para que duas curvas formem uma região limitada (fechada) é necessário que se encontrem em pelo menos dois pontos distintos e que, ao longo do caminho entre essas interseções, as curvas “fechem” a região. Aqui isto não ocorre porque a reta é paralela ao ramo direito e nunca o cruza.

Passo 5

Concluir sobre a existência da região limitada e sobre a área. Porque a reta paralela ao ramo direito não cruza esse ramo, a “região entre as curvas” (o conjunto de pontos entre as duas curvas) é ilimitada para x\to +\infty: para x\ge0 a distância vertical entre y=x+1 e y=x é constante e igual a 1, então existe uma faixa infinita de largura 1 estendendo-se para a direita. Logo não existe região limitada (fechada e de área finita) formada apenas por y=|x| e y=x+1; a área entre as curvas é ilimitada (infinita).

Resposta

Não existe região limitada pelas curvas; elas se intersectam apenas em \bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr) e, como a reta y=x+1 é paralela ao ramo y=x, a região entre as curvas é ilimitada e tem área infinita.

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