Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: "Determine a área da região limitada pelas curvas
e
".
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- As duas curvas são
e . - Precisamos verificar onde elas se interceptam e se formam uma região fechada (limitada). Se houver região limitada, calcular sua área. Se não houver, dizer isso claramente.
Passo 2
Entender a função valor absoluto
Explicação curta: para
(ramo direito do “V”); para
o gráfico é a reta
(ramo esquerdo do “V”), e os dois ramos encontram-se no vértice
.]
Passo 3
Procurar pontos de interseção entre
e
. Como
é peça por peça, resolvemos separadamente nas duas regiões.
- Caso
: substituímos . Igualando:
Subtraindo
dos dois lados obtém-se
, impossível. Conclusão: não há interseção para
.
- Caso
: substituímos . Igualando:
Somando
aos dois lados:
Como
, é solução válida. O ponto de interseção é
Passo 4
Interpretação geométrica das interseções (importante para saber se existe região fechada). Resumo do posicionamento relativo:
- Para
temos o ramo direito . A reta é paralela a este ramo (mesma inclinação ) e está sempre uma unidade acima, pois . Portanto nunca se encontram no ramo direito. - No ramo esquerdo (
), a reta e o ramo se cruzam em . Para o ramo esquerdo fica acima da reta ; para a reta fica acima do ramo esquerdo. - Como há apenas um ponto de interseção entre as duas curvas, não existe um laço fechado formado exclusivamente por elas. Para que duas curvas formem uma região limitada (fechada) é necessário que se encontrem em pelo menos dois pontos distintos e que, ao longo do caminho entre essas interseções, as curvas “fechem” a região. Aqui isto não ocorre porque a reta é paralela ao ramo direito e nunca o cruza.
Passo 5
Concluir sobre a existência da região limitada e sobre a área. Porque a reta paralela ao ramo direito não cruza esse ramo, a “região entre as curvas” (o conjunto de pontos entre as duas curvas) é ilimitada para
: para
a distância vertical entre
e
é constante e igual a
, então existe uma faixa infinita de largura 1 estendendo-se para a direita. Logo não existe região limitada (fechada e de área finita) formada apenas por
e
; a área entre as curvas é ilimitada (infinita).
Resposta
Não existe região limitada pelas curvas; elas se intersectam apenas em
e, como a reta
é paralela ao ramo
, a região entre as curvas é ilimitada e tem área infinita.