Determine a área da região limitada pelas curvas y = \frac{1}{x} e x + y = \frac{5}{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas duas curvas y=\frac{1}{x} e x+y=\frac{5}{2}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A curva hiperbólica y=\frac{1}{x}.
  • A reta x+y=\frac{5}{2}, que pode ser escrita como y=\frac{5}{2}-x.
  • A região limitada pelas duas curvas é a porção do plano onde elas se cruzam; precisamos achar os pontos de interseção e a integral que dá a área entre elas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção: igualamos as expressões de y,
\frac{1}{x}=\frac{5}{2}-x.
Multiplicamos ambos os lados por x (assumindo x\neq0, o qual não é solução aqui):
1=\frac{5}{2}x-x^{2}.
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
x^{2}-\frac{5}{2}x+1=0.
Multiplicando por 2 para ficar com coeficientes inteiros:
2x^{2}-5x+2=0.
Agora resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot2\cdot2=25-16=9,
logo \sqrt{\Delta}=3. As raízes são
x=\frac{5\pm3}{4}.
Portanto as interseções ocorrem em
x=\frac{5+3}{4}=2\quad\text{e}\quad x=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está “acima” da outra entre x=\frac{1}{2} e x=2 para montar a integral da área. Tomemos um ponto de teste, por exemplo x=1. Calculamos
y_{\text{reta}}=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}=1{,}5,
y_{\text{hipérbole}}=\frac{1}{1}=1.é
Como 1{,}5>1, a reta y=\frac{5}{2}-x está acima da hipérbole y=\frac{1}{x} no intervalo considerado. Logo a área pedida é
\text{Área}=\int_{x=\frac{1}{2}}^{2}\Big(\underbrace{\frac{5}{2}-x}_{\text{reta (topo)}}-\underbrace{\frac{1}{x}}_{\text{hipérbole (fundo)}}\Big)\,dx.Áé
Breve explicação do porquê: a integral definida de (\text{topo}-\text{fundo}) ao longo de x soma as pequenas áreas verticais entre as curvas para x entre as interseções.

Passo 4

Calculamos a primitiva (antiderivada) da função integranda termo a termo. Temos
\int\left(\frac{5}{2}-x-\frac{1}{x}\right)dx = \int\frac{5}{2}\,dx -\int x\,dx -\int\frac{1}{x}\,dx.
As antiderivadas conhecidas são:
  • \displaystyle \int\frac{5}{2}\,dx=\frac{5}{2}x, porque a integral de uma constante a é ax.
  • \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}, pois a regra é \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • \displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|, que é uma primitiva padrão.
    Portanto uma antiderivada da integranda é
F(x)=\frac{5}{2}x-\frac{x^{2}}{2}-\ln|x|.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\text{Área}=F(2)-F\!\left(\tfrac{1}{2}\right).Á
Calculamos F(2):
F(2)=\frac{5}{2}\cdot2-\frac{2^{2}}{2}-\ln(2)=5-2-\ln2=3-\ln2.
Calculamos F\!\left(\tfrac{1}{2}\right). Note que \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln2.
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{(1/2)^{2}}{2}-\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) =\frac{5}{4}-\frac{1}{8}+ \ln2.
Simplificando \frac{5}{4}-\frac{1}{8}=\frac{10-1}{8}=\frac{9}{8}, então
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{9}{8}+\ln2.

Passo 6

Subtraindo:
\text{Área}=(3-\ln2)-\left(\frac{9}{8}+\ln2\right) =3-\frac{9}{8}-2\ln2.Á
Calculamos 3-\frac{9}{8}=\frac{24-9}{8}=\frac{15}{8}. Assim
\text{Área}=\frac{15}{8}-2\ln2.Á
Se quiser uma aproximação numérica, usando \ln2\approx0{,}6931,
\text{Área}\approx 1{,}875-1{,}3863\approx0{,}4887.Á

Resposta

\frac{15}{8}-2\ln2
\approx 0{,}4887

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