Determine a área da região limitada pelas curvas y = \frac{1}{x} e x + y = \frac{5}{2}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas duas curvas y=\frac{1}{x} e x+y=\frac{5}{2}.
Informações dadas que vamos usar:
A curva hiperbólica y=\frac{1}{x}.
A reta x+y=\frac{5}{2}, que pode ser escrita como y=\frac{5}{2}-x.
A região limitada pelas duas curvas é a porção do plano onde elas se cruzam; precisamos achar os pontos de interseção e a integral que dá a área entre elas.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção: igualamos as expressões de y,
\frac{1}{x}=\frac{5}{2}-x.
Multiplicamos ambos os lados por x (assumindo x\neq0, o qual não é solução aqui):
1=\frac{5}{2}x-x^{2}.
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
x^{2}-\frac{5}{2}x+1=0.
Multiplicando por 2 para ficar com coeficientes inteiros:
2x^{2}-5x+2=0.
Agora resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
Precisamos saber qual curva está “acima” da outra entre x=\frac{1}{2} e x=2 para montar a integral da área. Tomemos um ponto de teste, por exemplo x=1. Calculamos
y_{\text{reta}}=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}=1{,}5,
y_{\text{hipérbole}}=\frac{1}{1}=1.
Como 1{,}5>1, a reta y=\frac{5}{2}-x está acima da hipérbole y=\frac{1}{x} no intervalo considerado. Logo a área pedida é
Breve explicação do porquê: a integral definida de (\text{topo}-\text{fundo}) ao longo de x soma as pequenas áreas verticais entre as curvas para x entre as interseções.
Passo 4
Calculamos a primitiva (antiderivada) da função integranda termo a termo. Temos