Determine a área da região limitada pelas curvas:
x=y^2, y=x+3, y=-2, y=3;

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
x = y^2, y = x + 3, y = -2, y = 3
Isto é um problema de área no plano usando integrais, e vamos usar fatias horizontais (integrar em y).

Passo 2

Para cada y entre -2 e 3, a fronteira esquerda vem de y = x+3, ou seja
xesq = y - 3,
e a fronteira direita vem de x = y^2, isto é
xdir = y^2

Passo 3

A área vale
A = integraly=-2^3 l(xdir - xesqr),dy = integral-2^3 l(y^2 - (y - 3)r),dy = integral-2^3 l(y^2 - y + 3r),dy

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
integral l(y^2 - y + 3r),dy = y^33 - y^22 + 3y

Passo 5

Avaliaremos de -2 a 3:
[y^33 - y^22 + 3y]-2^3 = l(9 - tfrac92 + 9r) - l(-tfrac83 - 2 - 6r) = 272 - l(-tfrac323r) = 816 + 646 = 1456

Resposta

A área da região é 1456.

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