Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiōes do plano-
determinadas pelos gráficos das soluções de equilibrio.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a EDO autônoma de 1ª ordem
procurando (i) os pontos críticos, (ii) sua classificação em estáveis/instáveis/semiestáveis, (iii) o retrato de fase (reta de fases) e (iv) um esboço qualitativo das curvas integrais no plano
.
Passo 2
Os pontos de equilíbrio satisfazem
Logo as soluções constantes são
Passo 3
Definimos
. Calculamos
Em
temos
, caso degenerado, então examinamos o sinal de
: para
e para
vale
. Isso significa que trajectórias vindas de
sobem em direção a
(atração pela esquerda) mas as que partem de
afastam-se de
(repulsão pela direita). Portanto
é semistável.
Em temos
Em
logo
é assintoticamente estável (sumidouro).
Passo 4
Na reta de fases marcamos os pontos críticos em
e
. Observe
Desenhamos setas para cima nos intervalos
e para baixo em
, indicando crescimento de
para
e decaimento para
.
Passo 5
No plano
as curvas integrais são monotônicas nas três regiões:
- Se
, então e cresce lentamente para quando . - Se
, então e cresce até se aproximar de como assíntota horizontal para . - Se
, então e decresce até .
Esboce-se feixes de curvas com assíntotas horizontais em
(para iniciais abaixo de zero) ou em
(para iniciais acima de zero), conforme descrito.
Resposta
Pontos críticos:
— semiestável.
— assintoticamente estável.