Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiōes do plano- x y determinadas pelos gráficos das soluções de equilibrio.
d yd x=y^2-y^3

Passo 1

O enunciado pede para analisar a EDO autônoma de 1ª ordem
dydx=y^2-y^3
procurando (i) os pontos críticos, (ii) sua classificação em estáveis/instáveis/semiestáveis, (iii) o retrato de fase (reta de fases) e (iv) um esboço qualitativo das curvas integrais no plano (x,y).

Passo 2

Os pontos de equilíbrio satisfazem
y^2-y^3=0 Longrightarrow y^2(1-y)=0
Logo as soluções constantes são
y(x)equiv 0, y(x)equiv 1

Passo 3

Definimos f(y)=y^2(1-y). Calculamos
f'(y)=2y-3y^2
Em y=0 temos f'(0)=0, caso degenerado, então examinamos o sinal de f: para y<0 e para 0<y<1 vale f(y)>0. Isso significa que trajectórias vindas de y<0 sobem em direção a 0 (atração pela esquerda) mas as que partem de y>0 afastam-se de 0 (repulsão pela direita). Portanto y=0 é semistável.
Em y=1 temos
f'(1)=2-3=-1<0,
logo y=1 é assintoticamente estável (sumidouro).

Passo 4

Na reta de fases marcamos os pontos críticos em y=0 e y=1. Observe
(-infty,0):;f(y)>0, (0,1):;f(y)>0, (1,infty):;f(y)<0
Desenhamos setas para cima nos intervalos (-infty,1) e para baixo em (1,infty), indicando crescimento de y para y<1 e decaimento para y>1.

Passo 5

No plano (x,y) as curvas integrais são monotônicas nas três regiões:
  • Se y( x0)<0, então dy/dx>0 e y(x) cresce lentamente para y=0 quando xto+infty.
  • Se 0<y( x0)<1, então dy/dx>0 e y(x) cresce até se aproximar de y=1 como assíntota horizontal para xto+infty.
  • Se y( x0)>1, então dy/dx<0 e y(x) decresce até y=1.
Esboce-se feixes de curvas com assíntotas horizontais em y=0 (para iniciais abaixo de zero) ou em y=1 (para iniciais acima de zero), conforme descrito.

Resposta

Pontos críticos:
y=0 — semiestável.
y=1 — assintoticamente estável.

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