Determine se os pares de funções abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes na reta real.
f(x)=x^3, g(x)=x^2|x|

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções f(x)=x^3 e g(x)=x^2lvert xrvert são linearmente independentes ou dependentes em R. O conteúdo envolvido é o de combinação linear de funções e o critério de independência linear.

Passo 2

Lembramos que duas funções varphi1 e varphi2 são linearmente dependentes em R se existem constantes a,b, não simultaneamente nulas, tais que
a,varphi1(x)+b,varphi2(x)=0 para todo xinR
Caso a única solução seja a=b=0, as funções são linearmente independentes.

Passo 3

Para comparar g com f, note que
lvert xrvert = x, & x>=0, -,x, & x<0,
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g(x)=x^2lvert xrvert= x^3, & x>=0, -,x^3, & x<0

Passo 4

Suponha que existam
Para isso vira
Para temos
Resolvendo o sistema
vem (a=b=0], ou seja, não há coeficientes não nulos que anulem a combinação. Logo as funções são linearmente independentes.

Resposta

As funções f(x)=x^3 e g(x)=x^2lvert xrvert são linearmente independentes em R.

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