Determine se os pares de funções abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes na reta real.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções e são linearmente independentes ou dependentes em . O conteúdo envolvido é o de combinação linear de funções e o critério de independência linear.
Passo 2
Lembramos que duas funções e são linearmente dependentes em se existem constantes , não simultaneamente nulas, tais que
Caso a única solução seja , as funções são linearmente independentes.
Passo 3
Para comparar com , note que
logo
g(x)=x^2lvert xrvert= x^3, & x>=0, -,x^3, & x<0
Passo 4
Suponha que existam
Para isso vira
Para temos
Resolvendo o sistema
vem (a=b=0], ou seja, não há coeficientes não nulos que anulem a combinação. Logo as funções são linearmente independentes.
Resposta
As funções f(x)=x^3 e g(x)=x^2lvert xrvert são linearmente independentes em R.