EM caso de convergência chlcule a soma da serie:
summ=2^infty(1m^2-1)

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
summ=2^infty1m^2-1.
O conteúdo que vamos usar é séries infinitas, em particular séries telescópicas obtidas por frações parciais, e verificar a convergência pelo comportamento dos termos na soma parcial.

Passo 2

Para transformar em forma telescópica, fazemos frações parciais:
1m^2-1 =1(m-1)(m+1) =12l(1m-1-1m+1r)

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN=summ=2^N1m^2-1 =12summ=2^Nl(1m-1-1m+1r)
Ao expandir, observamos o cancelamento em cadeia (telescópio), sobrando apenas os primeiros e últimos termos:
SN =12l( underbrace11+12primeiros termos -underbrace1N - 1,N+1,ú<imos termos com sinal negativo r) =12l(1+tfrac12-tfrac1N-tfrac1N+1r) ú

Passo 4

Para ver a convergência, tomamos o limite quando Ntoinfty. Os termos tfrac1N e tfrac1N+1 vão a zero, ficando
limNtoinftySN =12l(1+tfrac12r) =12cdot32 =34

Resposta

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