\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan 5 x}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\arctan 5x}{x}.
Informações dadas: a expressão é a razão entre \arctan 5x e x quando x tende a zero. A tarefa é achar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeira ideia simples (troca de variável): note que podemos escrever a expressão de forma a usar um limite mais padrão. Faça a substituição \;u=5x\;. Quando x\to 0 temos também u\to 0. Reescrevendo:
\frac{\arctan 5x}{x}=\frac{\arctan u}{x}.
Como \;u=5x\;, temos \;x=\frac{u}{5}\;. Substituindo:
\frac{\arctan 5x}{x}=\frac{\arctan u}{u/5}=5\cdot\frac{\arctan u}{u}.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\arctan 5x}{x}=5\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\arctan u}{u}.
Logo basta calcular o limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\arctan u}{u}. Se soubermos que esse limite vale 1, o resultado será 5.

Passo 3

Agora vou provar didaticamente por que \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\arctan u}{u}=1. Vou usar a noção de derivada no ponto zero (é uma forma direta e prática para a prova):
  • Lembrete do que é derivada em 0: para uma função f, a derivada em zero é
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
No nosso caso, tome f(u)=\arctan u. Como \arctan 0=0, a expressão da derivada fica
f'(0)=\lim_{u\to 0}\frac{\arctan u}{u}.
Ou seja, o limite que queremos é exatamente a derivada de \arctan u em zero.

Passo 4

Calcular a derivada de \arctan u (mini-aula sobre derivação por diferenciação implícita):
  • Defina y=\arctan u. Isso significa que \tan y = u.
  • Diferencie ambos os lados em relação a u. Lembre que a derivada de \tan y em relação a y é \operatorname{sec}^2 y, e aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{du}(\tan y)=\operatorname{sec}^2 y\cdot\frac{dy}{du}=\frac{d}{du}(u)=1.
  • Assim,
\frac{dy}{du}=\frac{1}{\operatorname{sec}^2 y}.
  • Use a identidade \operatorname{sec}^2 y=1+\tan^2 y. Como \tan y=u, obtemos
\frac{dy}{du}=\frac{1}{1+\tan^2 y}=\frac{1}{1+u^2}.
  • Portanto a derivada de \arctan u em qualquer u é \dfrac{1}{1+u^2}. Em particular, em u=0 vale
\left.\frac{d}{du}\arctan u\right|_{u=0}=\frac{1}{1+0^2}=1.

Passo 5

Conectando tudo: visto que
\lim_{u\to 0}\frac{\arctan u}{u}= \left.\frac{d}{du}\arctan u\right|_{u=0}=1,
voltamos à expressão do Passo 2:
\lim_{x\to 0}\frac{\arctan 5x}{x}=5\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\arctan u}{u}=5\cdot 1=5.

Resposta

5

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