Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a expressão é a razão entre
e
quando
tende a zero. A tarefa é achar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeira ideia simples (troca de variável): note que podemos escrever a expressão de forma a usar um limite mais padrão. Faça a substituição
. Quando
temos também
. Reescrevendo:
Como
, temos
. Substituindo:
Portanto
Logo basta calcular o limite padrão
. Se soubermos que esse limite vale 1, o resultado será
.
Passo 3
Agora vou provar didaticamente por que
. Vou usar a noção de derivada no ponto zero (é uma forma direta e prática para a prova):
- Lembrete do que é derivada em
: para uma função , a derivada em zero é
No nosso caso, tome
. Como
, a expressão da derivada fica
Ou seja, o limite que queremos é exatamente a derivada de
em zero.
Passo 4
Calcular a derivada de
(mini-aula sobre derivação por diferenciação implícita):
- Defina
. Isso significa que . - Diferencie ambos os lados em relação a
. Lembre que a derivada de em relação a é , e aplicando a regra da cadeia:
- Assim,
- Use a identidade
. Como , obtemos
- Portanto a derivada de
em qualquer é . Em particular, em vale
Passo 5
Conectando tudo: visto que
voltamos à expressão do Passo 2: