Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas: as duas funções quadráticas estão explicitadas. A região limitada é o conjunto de pontos onde as duas curvas se interceptam e o trecho entre elas. A primeira ação é encontrar os pontos de interseção (os limites de integração) e depois integrar a diferença entre a curva superior e a inferior. Não usei dados da imagem porque ela não traz informação numérica diferente das equações dadas.
Informações dadas: as duas funções quadráticas estão explicitadas. A região limitada é o conjunto de pontos onde as duas curvas se interceptam e o trecho entre elas. A primeira ação é encontrar os pontos de interseção (os limites de integração) e depois integrar a diferença entre a curva superior e a inferior. Não usei dados da imagem porque ela não traz informação numérica diferente das equações dadas.
Passo 2
Encontre os pontos de interseção resolvendo a igualdade das duas funções:
Coloco todos os termos no mesmo lado:
Simplificando os termos semelhantes:
Fatorando:
Portanto os pontos de interseção são
Passo 3
Determinar qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) no intervalo
. Escolho um ponto interior, por exemplo
, e calculo as duas funções.
Para
:
Como
e
, a curva
está acima de
no intervalo considerado. Logo a área será a integral de
.
Passo 4
Escrevo a expressão da área usando a definição de área entre duas curvas: se
é a curva superior e
a inferior, a área
entre
e
é
Aqui
,
,
e
. Montando a diferença:
Passo 5
Simplifico a expressão dentro da integral passo a passo:
Cancelam os
e
. Agrupo termos em
:
Portanto
Passo 6
Integro termo a termo usando a regra de potência para integrais:
para
. Assim,
Logo a primitiva do integrando é
Passo 7
Avalio a integral definida entre
e
:
Calculo
:
E
. Portanto
Passo 8
Interpretação final e verificação rápida: os resultados intermediários foram consistentes (pontos de interseção
e
, integrando a diferença correta). A área da região limitada é
unidades de área.