Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 4x + 3 e y = 3 + 2x - x^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^{2} - 4x + 3 e y = 3 + 2x - x^{2}.
Informações dadas: as duas funções quadráticas estão explicitadas. A região limitada é o conjunto de pontos onde as duas curvas se interceptam e o trecho entre elas. A primeira ação é encontrar os pontos de interseção (os limites de integração) e depois integrar a diferença entre a curva superior e a inferior. Não usei dados da imagem porque ela não traz informação numérica diferente das equações dadas.

Passo 2

Encontre os pontos de interseção resolvendo a igualdade das duas funções:
x^{2} - 4x + 3 = 3 + 2x - x^{2}
Coloco todos os termos no mesmo lado:
x^{2} - 4x + 3 - 3 - 2x + x^{2} = 0
Simplificando os termos semelhantes:
2x^{2} - 6x = 0
Fatorando:
2x(x-3)=0
Portanto os pontos de interseção são
x=0 \quad\text{e}\quad x=3.

Passo 3

Determinar qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) no intervalo [0,3]. Escolho um ponto interior, por exemplo x=1, e calculo as duas funções.
Para x=1:
y_{1}=x^{2}-4x+3=1-4+3=0
y_{2}=3+2x-x^{2}=3+2-1=4
Como y_{2}(1)=4 e y_{1}(1)=0, a curva y=3+2x-x^{2} está acima de y=x^{2}-4x+3 no intervalo considerado. Logo a área será a integral de \text{(top)}-\text{(bottom)}.

Passo 4

Escrevo a expressão da área usando a definição de área entre duas curvas: se y_{\text{top}}(x) é a curva superior e y_{\text{bot}}(x) a inferior, a área A entre x=a e x=b é
A=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.
Aqui a=0, b=3, y_{\text{top}}(x)=3+2x-x^{2} e y_{\text{bot}}(x)=x^{2}-4x+3. Montando a diferença:
y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)=(3+2x-x^{2})-(x^{2}-4x+3).

Passo 5

Simplifico a expressão dentro da integral passo a passo:
(3+2x-x^{2})-(x^{2}-4x+3)=3+2x-x^{2}-x^{2}+4x-3.
Cancelam os +3 e -3. Agrupo termos em x:
= (2x+4x) + (-x^{2}-x^{2}) = 6x - 2x^{2}.
Portanto
A=\int_{0}^{3} (6x-2x^{2})\,dx.

Passo 6

Integro termo a termo usando a regra de potência para integrais: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Assim,
\int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^{2}}{2}=3x^{2},
\int -2x^{2}\,dx = -2\cdot\frac{x^{3}}{3}=-\frac{2}{3}x^{3}.
Logo a primitiva do integrando é
F(x)=3x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}.

Passo 7

Avalio a integral definida entre 0 e 3:
A=F(3)-F(0).
Calculo F(3):
F(3)=3\cdot 3^{2}-\frac{2}{3}\cdot 3^{3}=3\cdot 9 - \frac{2}{3}\cdot 27 =27 - 18 =9.
E F(0)=0. Portanto
A=9-0=9.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida: os resultados intermediários foram consistentes (pontos de interseção 0 e 3, integrando a diferença correta). A área da região limitada é 9 unidades de área.

Resposta

9

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