Determine a área da região limitada pelas curvas:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Uma curva é
. - A outra é
.
O que se pede: - Calcular a área da região situada entre essas duas curvas.
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção (os limites de integração). Igualamos as duas funções:
Passo 3
Para resolver a equação acima, multiplico ambos os lados por
:
Isso dá
Faço a substituição
(notando que
), obtendo a equação quadrática
Passo 4
Resolvo a quadrática por fatoração. Procuro números que multiplicados deem
e somados deem
:
. Logo
Como
, descarto
e fico com
. Portanto
Os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora determino qual curva é a de cima (maior
) no intervalo
. Avalio em
:
Como
, a curva
está acima de
para
entre
e
. Então a área procurada é
Passo 6
As duas funções são pares (ou seja, simétricas em relação ao eixo
), logo o integrando também é par. Posso usar simetria para calcular:
Distribuindo:
Passo 7
Lembro das primitivas:
-
. -
.
Agora calculo cada integral no intervalo:
Passo 8
Substituo esses resultados em
Á :
Multiplicando por
: