Determine a área da região limitada pelas curvas:
y = x^2 e y = \frac{2}{1 + x^2}

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=\dfrac{2}{1+x^2}.
Informações dadas:
  • Uma curva é y=x^2.
  • A outra é y=\dfrac{2}{1+x^2}.
    O que se pede:
  • Calcular a área da região situada entre essas duas curvas.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção (os limites de integração). Igualamos as duas funções:
x^2=\frac{2}{1+x^2}.

Passo 3

Para resolver a equação acima, multiplico ambos os lados por 1+x^2:
x^2(1+x^2)=2.
Isso dá
x^4+x^2-2=0.
Faço a substituição t=x^2 (notando que t\ge0), obtendo a equação quadrática
t^2+t-2=0.

Passo 4

Resolvo a quadrática por fatoração. Procuro números que multiplicados deem -2 e somados deem 1: (t+2)(t-1)=0. Logo
t=-2\quad\text{ou}\quad t=1.
Como t=x^2\ge0, descarto t=-2 e fico com t=1. Portanto
x^2=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm1.
Os pontos de interseção são x=-1 e x=1.

Passo 5

Agora determino qual curva é a de cima (maior y) no intervalo [-1,1]. Avalio em x=0:
y_{1}(0)=0^2=0,\qquad y_{2}(0)=\frac{2}{1+0^2}=2.
Como 2>0, a curva y=\dfrac{2}{1+x^2} está acima de y=x^2 para x entre -1 e 1. Então a área procurada é
\text{Área}=\int_{-1}^{1}\left(\frac{2}{1+x^2}-x^2\right)\,dx.Á

Passo 6

As duas funções são pares (ou seja, simétricas em relação ao eixo y), logo o integrando também é par. Posso usar simetria para calcular:
\text{Área}=2\int_{0}^{1}\left(\frac{2}{1+x^2}-x^2\right)\,dx.Á
Distribuindo:
\text{Área}=2\left(2\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}\,dx-\int_{0}^{1}x^2\,dx\right).Á

Passo 7

Lembro das primitivas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x.
  • \displaystyle \int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}.
    Agora calculo cada integral no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4},
\int_{0}^{1}x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}.

Passo 8

Substituo esses resultados em \text{Área}Á:
\text{Área}=2\left(2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\right)=2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}\right).Á
Multiplicando por 2:
\text{Área}=\pi-\frac{2}{3}.Á

Resposta

\pi-\dfrac{2}{3}

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