Determine a área da região limitada pelas curvas:
y=x^2 e y=x+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área da região limitada pelas curvas y=x² e y=x+2. Esse é um problema de cálculo de área entre curvas usando integral definida.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos as funções: x^2 = x + 2. Isso leva a x^2 - x - 2 = 0, cujas raízes são x = -1 e x = 2.
Observamos que, no intervalo de -1 a 2, a reta y = x + 2 está acima da parábola y = x^2. Assim, a área buscada é dada por
integral-1^2 l[(x+2) - x^2r] , dx

Passo 3

Calculamos a primitiva de (x+2) - x^2:
F(x) = x^22 + 2x - x^33

Passo 4

Agora avaliamos F(x) em x=2 e x=-1 e fazemos a diferença. Em x=2: F(2)=2+4-tfrac83=6-tfrac83=tfrac103. Em x=-1: F(-1)=tfrac12-2+tfrac13=-tfrac76. Então a área é
tfrac103 - l(-tfrac76r) = tfrac276 = tfrac92

Resposta

tfrac92

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