Mostre que (a) |e^i theta|=1;
(b) e^i theta=e^-i theta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes:
(a) Mostrar que o módulo de $ e^{i \theta} $ é igual a 1, ou seja, $ \left|e^{i \theta}\right|=1 $;
(b) Mostrar que o conjugado de $ e^{i \theta} $ é igual a $ e^{-i \theta} $, ou seja, $ \overline{e^{i \theta}}=e^{-i \theta} $.
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de números complexos, especificamente sobre módulo e conjugado. Vamos precisar lembrar que $ e^{i \theta} $ pode ser escrito usando a fórmula de Euler, que relaciona exponenciais complexas com funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ e^{i \theta} $. Pela fórmula de Euler, temos:
e^i theta
Isso nos mostra que $ e^{i \theta} $ é um número complexo no plano complexo, onde $ \cos \theta $ é a parte real e $ \sin \theta $ é a parte imaginária.

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo de $ e^{i \theta} $. O módulo de um número complexo $ z = a + ib $ é dado por:
e^i theta
Aplicando isso a $ e^{i \theta} $:
z = a + ib

Passo 4

Sabemos que $ (\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 = 1 $ pela identidade trigonométrica fundamental. Então:
(cos theta)^2 + (sin theta)^2 = 1
Isso prova a parte (a) da questão.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). O conjugado de um número complexo $ z = a + ib $ é $ \overline{z} = a - ib $. Aplicando isso a $ e^{i \theta} $:
z = a + ib
Queremos mostrar que isso é igual a $ e^{-i \theta} $.

Passo 6

Utilizando novamente a fórmula de Euler para $ e^{-i \theta} $:
e^-i theta
Sabemos que $ \cos (-\theta) = \cos \theta $ e $ \sin (-\theta) = -\sin \theta $. Então:
e^-i theta = cos (-theta) + i sin (-theta)
Isso mostra que:
cos (-theta) = cos theta

Resposta

(a) $ \left|e^{i \theta}\right| = 1 $;
(b) $ \overline{e^{i \theta}} = e^{-i \theta} $.

Exercícios relacionados