Resolva fazendo a substituição v=y^prime :
y^prime prime+y(y^prime)^3=0

Passo 1

O exercício é resolver a equação de segunda ordem y'' + y,(y')^3 = 0 usando a substituição v = y'. O conteúdo é equações diferenciais ordinárias e vamos usar a redução de ordem via cadeia.

Passo 2

Com v = y', pela regra da cadeia temos y'' = dvdx = dvdydydx = vdvdy.
Substituindo em y'' + y,(y')^3 = 0 vem
vdvdy + y,v^3 = 0

Passo 3

Como v pode ser nulo só trivialmente, dividimos por v (assumindo vneq0) e obtemos
dvdy + y,v^2 = 0 Longrightarrow dvdy = -y,v^2

Passo 4

Essa é separável:
dvv^2 = -y,dy

Passo 5

Integramos os dois lados:
integral v^-2,dv = -integral y,dy Longrightarrow -1v = -y^22 + C1

Passo 6

Reorganizando,
1v = y^22 + C1 Longrightarrow v = 1C1 + tfracy^22

Passo 7

Para ficar mais simples, defina C2 = 2C1. Então
v = y' = 2y^2 + C2

Passo 8

Agora temos uma equação de primeira ordem separável em y e x:
(y^2 + C2),dy = 2,dx

Passo 9

Integramos de novo:
integral(y^2 + C2),dy = integral 2,dx Longrightarrow y^33 + C2 y = 2x + C3

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
y^33 + C2 y = 2x + C3,
onde C2 e C3 são constantes de integração.

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