Resolva fazendo a substituição
:
Passo 1
O exercício é resolver a equação de segunda ordem
usando a substituição
. O conteúdo é equações diferenciais ordinárias e vamos usar a redução de ordem via cadeia.
Passo 2
Com
, pela regra da cadeia temos
.
Substituindo em vem
Substituindo em
Passo 3
Como
pode ser nulo só trivialmente, dividimos por
(assumindo
) e obtemos
Passo 4
Essa é separável:
Passo 5
Integramos os dois lados:
Passo 6
Reorganizando,
Passo 7
Para ficar mais simples, defina
. Então
Passo 8
Agora temos uma equação de primeira ordem separável em
e
:
Passo 9
Integramos de novo:
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
onde
e
são constantes de integração.