Use a Transformada de Laplace e o

Passo 1

O problema pede para resolver o valor inicial
onde
Usaremos a transformada de Laplace e o segundo teorema da translação (descrição de funções por degrau unitário).

Passo 2

Escrevemos f(t) em termos do degrau unitário u(t-1). Como f(t)=0 até t=1 e vale 5 depois,
f(t)=5,u(t-1)

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial. Como y(0)=0,
Ly' + Ly = sY(s)+Y(s) =(s+1),Y(s)
Do lado direito,
L5,u(t-1) =5,e^-ss
Logo, em s-domínio temos
(s+1),Y(s)=5e^-ss

Passo 4

Isolando Y(s),
Y(s) =5e^-ss(s+1)

Passo 5

Para inverter usamos o segundo teorema da translação: se
Y(s)=e^-asG(s),
então
y(t)=u(t-a),g(t-a),
onde g(t)=L^-1G(s). Aqui a=1 e
G(s)=5s(s+1)

Passo 6

Calculamos
g(t) =L^-1l5s(s+1)r =5l(1-e^-tr)
Portanto
y(t)=u(t-1),g(t-1) = u(t-1),5l(1-e^-(t-1)r)

Resposta

Para 0<= t<1:
y(t)=0
Para t>=1:
y(t)=5l(1-e^-(t-1)r)

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