Determine a área da região limitada:
Determine a área delimitada
pela curva: lx(t)=2 cos t y(t)=2 sen t, e que está acima da reta y=1.

Passo 1

A curva dada por x(t)=2cos t, y(t)=2sin t, tin[0,2pi] é um círculo de raio 2 centrado na origem. Precisamos achar a área da parte desse círculo que fica acima da reta y=1. Para isso, vamos usar a teoria de segmentos circulares: a área do segmento é igual à área do setor correspondente menos a área do triângulo formado pelos dois raios e a corda.

Passo 2

Primeiro, determinamos os valores de t em que o círculo cruza a reta y=1. Resolvendo 2sin t = 1 temos:
sin t = tfrac12 implies t1 = tfracpi6, t2 = pi - tfracpi6 = tfrac5pi6
O ângulo central que corresponde ao segmento é
De

Passo 3

Calculamos agora: - Área do setor circular de raio R=2 e ângulo De:
Asetor = R^2,De - Área do triângulo isósceles cujos lados são os dois raios e ângulo De:
Atriângulo = 12R^2sin(Deâ

Passo 4

Por fim, a área do segmento (região acima de y=1) é dado por setor menos triângulo.

Resposta

A = 4pi3 - raiz3

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