Use as estratégias das integrais trigonométricas e indique qual substituição deve ser feita para mostrar como se calcula as integrais abaixo:
integral tg^5 3 x sec ^4 3 x d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral integral tan^5(3x) sec^4(3x) , dx utilizando estratégias de integrais trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a aplicação da substituição. Observamos que tan^5(3x) pode ser decomposta em tan^4(3x) cdot tan(3x). Além disso, sabemos que tan^2(theta) = sec^2(theta) - 1, então podemos reescrever tan^4(3x) como (tan^2(3x))^2 = (sec^2(3x) - 1)^2. Substituindo isso na integral, temos:
integral tan^5(3x) sec^4(3x) , dx = integral (sec^2(3x) - 1)^2 cdot tan(3x) sec^4(3x) , dx

Passo 3

Agora, vamos identificar uma parte da integral que pode ser usada para a substituição. Vamos definir u = sec(3x). Para encontrar du, derivamos u em relação a x:
dudx = 3 sec(3x) tan(3x) implies du = 3 sec(3x) tan(3x) , dx implies du3 = sec(3x) tan(3x) , dx

Passo 4

Precisamos ajustar a integral para utilizar a substituição que encontramos. Observamos que na integral original temos tan(3x) sec^4(3x) , dx. Podemos reescrever isso como sec^3(3x) cdot tan(3x) sec(3x) , dx. Substituindo pela expressão de du, temos:
integral (sec^2(3x) - 1)^2 cdot sec^3(3x) cdot du3

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão. Lembrando que u = sec(3x), substituímos na integral:
13 integral (u^2 - 1)^2 cdot u^3 , du
Expandindo (u^2 - 1)^2:
(u^2 - 1)^2 = u^4 - 2u^2 + 1
Substituindo de volta na integral:
13 integral (u^4 - 2u^2 + 1) cdot u^3 , du = 13 integral (u^7 - 2u^5 + u^3) , du

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
13 ( u^88 - 2 cdot u^66 + u^44 ) + C = 124 u^8 - 19 u^6 + 112 u^4 + C
Substituindo u = sec(3x) de volta:
124 sec^8(3x) - 19 sec^6(3x) + 112 sec^4(3x) + C

Resposta

A integral integral tan^5(3x) sec^4(3x) , dx é igual a 124 sec^8(3x) - 19 sec^6(3x) + 112 sec^4(3x) + C, onde C é a constante de integração.

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