Use as estratégias das integrais trigonométricas e indique qual substituição deve ser feita para mostrar como se calcula as integrais abaixo:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral
utilizando estratégias de integrais trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a aplicação da substituição. Observamos que
pode ser decomposta em
. Além disso, sabemos que
, então podemos reescrever
como
. Substituindo isso na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos identificar uma parte da integral que pode ser usada para a substituição. Vamos definir
. Para encontrar
, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Precisamos ajustar a integral para utilizar a substituição que encontramos. Observamos que na integral original temos
. Podemos reescrever isso como
. Substituindo pela expressão de
, temos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão. Lembrando que
, substituímos na integral:
Expandindo
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo
de volta:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.