Use as estratégias das integrais trigonométricas e indique qual substituição deve ser feita para mostrar como se calcula as integrais abaixo:
integral tg^4 4 x sec ^4 4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente resolver uma integral que envolve potências de funções trigonométricas, especificamente tangente e secante. O conteúdo que vamos usar aqui são técnicas de integrais trigonométricas, e pra resolver isso, a gente vai precisar usar substituição trigonométrica. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral: integral tan^4(4x) sec^4(4x) , dx. A gente tem potências altas de tangente e secante, o que pode complicar as coisas. Uma boa estratégia aqui é simplificar a expressão usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Lembrando que sabemos que sec^2(theta) = 1 + tan^2(theta). Isso significa que podemos expressar sec^4(4x) como (sec^2(4x))^2 = (1 + tan^2(4x))^2. Vamos substituir isso na integral:
integral tan^4(4x) (1 + tan^2(4x))^2 , dx

Passo 4

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar u = tan(4x). Assim, a derivada de u em relação a x é:
dudx = 4sec^2(4x)
Isso implica que:
dx = du4sec^2(4x)
Mas como temos sec^2(4x) na derivada, isso vai simplificar as coisas na nossa integral.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral u^4 (1 + u^2)^2 cdot du4(1 + u^2)
Simplificando:
14 integral u^4 (1 + u^2) , du

Passo 6

Agora, essa integral ficou bem mais simples! Vamos expandir a expressão dentro da integral:
14 integral (u^4 + u^6) , du
Integrando termo a termo:
14 ( u^55 + u^77 ) + C

Passo 7

Por fim, lembrando que fizemos a substituição u = tan(4x), vamos voltar para a variável original:
14 ( tan^5(4x)5 + tan^7(4x)7 ) + C

Resposta

A substituição indicada para resolver a integral é u = tan(4x). Após aplicar a substituição, a integral se simplifica para:
14 ( tan^5(4x)5 + tan^7(4x)7 ) + C

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