Use as estratégias das integrais trigonométricas e indique qual substituição deve ser feita para mostrar como se calcula as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente resolver uma integral que envolve potências de funções trigonométricas, especificamente tangente e secante. O conteúdo que vamos usar aqui são técnicas de integrais trigonométricas, e pra resolver isso, a gente vai precisar usar substituição trigonométrica. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral:
. A gente tem potências altas de tangente e secante, o que pode complicar as coisas. Uma boa estratégia aqui é simplificar a expressão usando identidades trigonométricas.
Passo 3
Lembrando que sabemos que
. Isso significa que podemos expressar
como
. Vamos substituir isso na integral:
Passo 4
Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é:
Isso implica que:
Mas como temos
na derivada, isso vai simplificar as coisas na nossa integral.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, essa integral ficou bem mais simples! Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Por fim, lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para a variável original:
Resposta
A substituição indicada para resolver a integral é
. Após aplicar a substituição, a integral se simplifica para: