O exercício pede para verificar se o conjunto A=xinR:|x+2x+3|>=2 é fechado em R. O conteúdo envolve noções de conjuntos fechados (contém todos os seus pontos de fronteira) e resolução de desigualdades com valor absoluto em função racional.
Passo 2
Para resolver, primeiro eliminamos o valor absoluto elevando ao quadrado, lembrando que o domínio exige xneq-3:
|x+2x+3|>=2Long<=ftrightarrow(x+2)^2(x+3)^2>=4
Subtraímos 4 e colocamos tudo sobre um mesmo denominador, fatorando o numerador: (x+2)^2-4(x+3)^2(x+3)^2>=0Long<=ftrightarrow(-x-4)(3x+8)(x+3)^2>=0
O numerador anula em x=-4 e x=-tfrac83. O denominador é sempre positivo (exceto em x=-3, onde a expressão não existe). Assim a solução da desigualdade é
$$
x\in[-4,-\tfrac{8}{3}],\quad x\neq-3.$$
Como xin[-4,-tfrac83], xneq-3 fica dentro do intervalo mas está excluído do domínio, obtemos -3
Passo 3
Os pontos de fronteira de A são -4, -tfrac83 e -3. Note que -3 é ponto de acumulação (aproxima-se por valores em A) mas não pertence a A. Como A não contém o ponto de fronteira -3, concluímos que A não é fechado.
Resposta
Não, o conjunto A não é fechado, pois o ponto -3 é ponto de fronteira e de acumulação de A, mas não pertence a A.