Determine a área da região limitada:
Determine a área delimitada
pelas curvas: lx(t)=2 cos t y(t)=4 sen t e lx(t)=2 cos t y(t)=sen t.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e o que vamos usar: queremos a área da região limitada por duas curvas paramétricas fechadas, que na verdade são elipses. O conteúdo principal aqui é a área de uma elipse e a ideia é reconhecer cada curva como uma elipse e aplicar sua fórmula de área.

Passo 2

Identificamos a primeira curva como a elipse
x^22^2+y^24^2=1
cujo semi-eixo maior é b=4 e o semi-eixo menor é a=2. A área dessa elipse é dada por A1=pi a b=picdot2cdot4=8pi.

Passo 3

A segunda curva é a elipse
x^22^2+y^21^2=1
com semi-eixo menor a=2 e semi-eixo maior b=1, cuja área é A2=picdot2cdot1=2pi.
A região entre as duas elipses tem área igual à diferença dessas áreas, ou seja, A=A1-A2=8pi-2pi=6pi.

Resposta

6pi

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