3
Defina a distância de um ponto
a um conjunto não-vazio
como
a) Se
e
, calcule
.
b) Prove que
se, e somente se,
.
b) Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a distância entre o ponto $ a = 5 $ e o conjunto $ X $ definido por $ X = {x \in \mathbb{R} : |x-2| + |x+5| < 12} $. O conteúdo envolvido aqui é a definição de distância entre um ponto e um conjunto, usando a ideia de “menor distância” possível. Vamos precisar entender como resolver desigualdades com valores absolutos para encontrar os valores de $ x $ que pertencem a $ X $ e então calcular a menor distância entre esses $ x $ e o ponto $ a = 5 $.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a definição do conjunto $ X $. Temos que $ |x - 2| + |x + 5| < 12 $. Isso envolve duas barras de valor absoluto, o que significa que vamos considerar diferentes intervalos para $ x $ onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.
Passo 3
Vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos se anulariam:
- Para $ |x - 2| $, o ponto crítico é $ x = 2 $.
- Para $ |x + 5| $, o ponto crítico é $ x = -5 $.
Esses pontos dividem a linha real em três intervalos:
- $ x < -5 $
- $ -5 \leq x \leq 2 $
- $ x > 2 $
Passo 4
Vamos analisar cada intervalo separadamente:
-
Para $ x < -5 $:
- $ |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 $
- $ |x + 5| = -(x + 5) = -x - 5 $
- Soma: $ -x + 2 - x - 5 = -2x - 3 < 12 $
- Resolvendo: $ -2x - 3 < 12 $ → $ -2x < 15 $ → $ x > -7.5 $
-
Para $ -5 \leq x \leq 2 $:
- $ |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 $
- $ |x + 5| = x + 5 $
- Soma: $ -x + 2 + x + 5 = 7 < 12 $
- Sempre verdadeiro nesse intervalo.
-
Para $ x > 2 $:
- $ |x - 2| = x - 2 $
- $ |x + 5| = x + 5 $
- Soma: $ x - 2 + x + 5 = 2x + 3 < 12 $
- Resolvendo: $ 2x + 3 < 12 $ → $ 2x < 9 $ → $ x < 4.5 $
Passo 5
Juntando todas as condições, o conjunto $ X $ corresponde aos valores de $ x $ que satisfazem:
- $ -7.5 < x < 4.5 $
Então, $ X = (-7.5, 4.5) $
Passo 6
Agora, queremos encontrar a distância mínima entre $ a = 5 $ e os pontos de $ X $. A distância entre $ a $ e $ X $ é o menor valor de $ |x - 5| $ para $ x \in X $.
Como $ X = (-7.5, 4.5) $, o ponto mais próximo de $ 5 $ em $ X $ é $ 4.5 $.
Passo 7
Calculando a distância:
Passo 8
Agora, vamos provar que $ d(a, X) = 0 $ se, e somente se, $ a \in \bar{X} $. Aqui, $ \bar{X} $ representa o fecho de $ X $, que inclui todos os pontos de $ X $ mais seus pontos de fronteira. O conteúdo teórico envolvido é a definição de fecho e a relação entre distância e pertencimento ao fecho.
Passo 9
Se $ a \in \bar{X} $, então $ d(a, X) = 0 $:
Se $ a $ está no fecho de $ X $, significa que toda vizinhança de $ a $ contém pontos de $ X $. Assim, para qualquer $ \epsilon > 0 $, existe $ x \in X $ tal que $ |x - a| < \epsilon $. Isso implica que o infimum de $ |x - a| $ é zero.
Se $ d(a, X) = 0 $, então $ a \in \bar{X} $:
Se a menor distância entre $ a $ e $ X $ é zero, para todo $ \epsilon > 0 $, existe $ x \in X $ com $ |x - a| < \epsilon $. Isso significa que $ a $ está arbitrariamente próximo de pontos em $ X $, implicando que $ a $ está no fecho de $ X $.
Resposta
Provaram-se ambas as implicações, mostrando que $ d(a, X) = 0 $ se, e somente se, $ a $ pertence ao fecho de $ X $, ou seja, $ a \in \bar{X} $.