3 ^a Defina a distância de um ponto a in R a um conjunto não-vazio X subset R como
d(a, X)=inf |x-a|: x in X
a) Se X=x in R:|x-2|+|x+5|<12 e a=5, calcule d(a, X).
b) Prove que d(a, X)=0 se, e somente se, a in barX.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a distância entre o ponto $ a = 5 $ e o conjunto $ X $ definido por $ X = {x \in \mathbb{R} : |x-2| + |x+5| < 12} $. O conteúdo envolvido aqui é a definição de distância entre um ponto e um conjunto, usando a ideia de “menor distância” possível. Vamos precisar entender como resolver desigualdades com valores absolutos para encontrar os valores de $ x $ que pertencem a $ X $ e então calcular a menor distância entre esses $ x $ e o ponto $ a = 5 $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a definição do conjunto $ X $. Temos que $ |x - 2| + |x + 5| < 12 $. Isso envolve duas barras de valor absoluto, o que significa que vamos considerar diferentes intervalos para $ x $ onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.

Passo 3

Vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos se anulariam:
  • Para $ |x - 2| $, o ponto crítico é $ x = 2 $.
  • Para $ |x + 5| $, o ponto crítico é $ x = -5 $.
Esses pontos dividem a linha real em três intervalos:
  1. $ x < -5 $
  2. $ -5 \leq x \leq 2 $
  3. $ x > 2 $

Passo 4

Vamos analisar cada intervalo separadamente:
  1. Para $ x < -5 $:
    • $ |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 $
    • $ |x + 5| = -(x + 5) = -x - 5 $
    • Soma: $ -x + 2 - x - 5 = -2x - 3 < 12 $
    • Resolvendo: $ -2x - 3 < 12 $ → $ -2x < 15 $ → $ x > -7.5 $
  2. Para $ -5 \leq x \leq 2 $:
    • $ |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 $
    • $ |x + 5| = x + 5 $
    • Soma: $ -x + 2 + x + 5 = 7 < 12 $
    • Sempre verdadeiro nesse intervalo.
  3. Para $ x > 2 $:
    • $ |x - 2| = x - 2 $
    • $ |x + 5| = x + 5 $
    • Soma: $ x - 2 + x + 5 = 2x + 3 < 12 $
    • Resolvendo: $ 2x + 3 < 12 $ → $ 2x < 9 $ → $ x < 4.5 $

Passo 5

Juntando todas as condições, o conjunto $ X $ corresponde aos valores de $ x $ que satisfazem:
  • $ -7.5 < x < 4.5 $
Então, $ X = (-7.5, 4.5) $

Passo 6

Agora, queremos encontrar a distância mínima entre $ a = 5 $ e os pontos de $ X $. A distância entre $ a $ e $ X $ é o menor valor de $ |x - 5| $ para $ x \in X $.
Como $ X = (-7.5, 4.5) $, o ponto mais próximo de $ 5 $ em $ X $ é $ 4.5 $.

Passo 7

Calculando a distância:
d(5, X) = |4.5 - 5| = 0.5

Passo 8

Agora, vamos provar que $ d(a, X) = 0 $ se, e somente se, $ a \in \bar{X} $. Aqui, $ \bar{X} $ representa o fecho de $ X $, que inclui todos os pontos de $ X $ mais seus pontos de fronteira. O conteúdo teórico envolvido é a definição de fecho e a relação entre distância e pertencimento ao fecho.

Passo 9

Se $ a \in \bar{X} $, então $ d(a, X) = 0 $:
Se $ a $ está no fecho de $ X $, significa que toda vizinhança de $ a $ contém pontos de $ X $. Assim, para qualquer $ \epsilon > 0 $, existe $ x \in X $ tal que $ |x - a| < \epsilon $. Isso implica que o infimum de $ |x - a| $ é zero.
Se $ d(a, X) = 0 $, então $ a \in \bar{X} $:
Se a menor distância entre $ a $ e $ X $ é zero, para todo $ \epsilon > 0 $, existe $ x \in X $ com $ |x - a| < \epsilon $. Isso significa que $ a $ está arbitrariamente próximo de pontos em $ X $, implicando que $ a $ está no fecho de $ X $.

Resposta

Provaram-se ambas as implicações, mostrando que $ d(a, X) = 0 $ se, e somente se, $ a $ pertence ao fecho de $ X $, ou seja, $ a \in \bar{X} $.

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