Determine a área da região limitada por:
f(x)=-x^2-x+2;

Passo 1

Temos a função f(x) = -x^2 - x + 2 e queremos calcular a área da região limitada pela curva de f e o eixo x. O conteúdo envolvido é integração definida para obter área sob a curva.

Passo 2

Para encontrar onde a curva intercepta o eixo x, resolvemos a equação -x^2 - x + 2 = 0. Isso equivale a x^2 + x - 2 = 0. Aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos
x = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Logo, as raízes são x = 1 e x = -2.

Passo 3

Como f(x) é positiva no intervalo [-2,1], a área A desejada é dada pela integral definida
A = integral-2^1 l(-x^2 - x + 2r),dx

Passo 4

Calculamos a antiderivada de f(x):
integral l(-x^2 - x + 2r),dx = -x^33 - x^22 + 2x + C

Passo 5

Definindo
F(x) = -x^33 - x^22 + 2x,
avaliamos nos limites:
F(1) = -13 - 12 + 2 = 2 - 56 = 76,
F(-2) = --83 - 42 + 2(-2) = 83 - 2 - 4 = 83 - 6 = -103
Então
A = F(1) - F(-2) = 76 - l(-tfrac103r) = 76 + 103 = 276 = 92

Passo 6

Concluímos que a área da região limitada pela curva e o eixo x é tfrac92 unidades quadradas.

Resposta

tfrac92

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