Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral0^infty 1e^2 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de uma integral imprópria. A integral que precisamos resolver é:
integral0^infty 1e^2 x+1 , dx
Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais que vão até o infinito. Vamos precisar entender como manipular exponenciais e aplicar limites para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dentro da integral. A expressão 1e^2x + 1 é a mesma coisa que e^-(2x + 1). Então, reescrevendo a integral, temos:
integral0^infty e^-(2x + 1) , dx
Essa simplificação ajuda a deixar a integral mais fácil de trabalhar, especialmente porque lidamos com funções exponenciais negativas.

Passo 3

Agora, vamos separar o termo constante da exponencial. A expressão e^-(2x + 1) pode ser escrita como e^-1 cdot e^-2x. Assim, a integral fica:
integral0^infty e^-1 cdot e^-2x , dx
Como e^-1 é uma constante, podemos tirá-la da integral:
e^-1 integral0^infty e^-2x , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral integral0^infty e^-2x , dx. Sabemos que a integral de e^-kx de 0 até infinito é 1k, onde k é uma constante positiva. Neste caso, k = 2, então:
integral0^infty e^-2x , dx = 12

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral de volta na expressão anterior:
e^-1 cdot 12 = e^-12
Lembrando que e^-1 é igual a 1e, então podemos escrever:
12e

Resposta

A integral imprópria integral0^infty 1e^2 x+1 , dx é igual a 12e.

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