Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de uma integral imprópria. A integral que precisamos resolver é:
Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais que vão até o infinito. Vamos precisar entender como manipular exponenciais e aplicar limites para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função dentro da integral. A expressão
é a mesma coisa que
. Então, reescrevendo a integral, temos:
Essa simplificação ajuda a deixar a integral mais fácil de trabalhar, especialmente porque lidamos com funções exponenciais negativas.
Passo 3
Agora, vamos separar o termo constante da exponencial. A expressão
pode ser escrita como
. Assim, a integral fica:
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 4
Vamos resolver a integral
. Sabemos que a integral de
de 0 até infinito é
, onde
é uma constante positiva. Neste caso,
, então:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral de volta na expressão anterior:
Lembrando que
é igual a
, então podemos escrever:
Resposta
A integral imprópria
é igual a
.