Questão 2: Calcule a integral da funçāo
wa regiōn
limitada pelas retas
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a região
limitada pelas retas
O que se pede é calcular a integral dupla
Informações relevantes extraídas do enunciado: as quatro retas fornecem as fronteiras de
; a função a ser integrada é linear em
e
.
Passo 2
Observação útil (explicação didática): as retas que limitam
têm formas
e
. Uma forma prática é usar novas variáveis que sejam exatamente essas combinações lineares, porque então as curvas limite viram retas de coordenadas constantes — isso transforma a região
num retângulo no plano das novas variáveis, o que simplifica muito a integração. Vamos fazer isso.
Passo 3
Definimos as variáveis
Agora resolvemos para
e
em função de
e
. Somando e subtraindo as igualdades:
Estas fórmulas nos dizem como expressar
e
pelo par
.
Passo 4
Explicação sobre o Jacobiano (aula curta): quando fazemos mudança de variáveis numa integral dupla, a área elementar
em
se transforma em
, onde
é o determinante da matriz das derivadas parciais de
em relação a
. Esse determinante mede o fator de escala de áreas causado pela transformação.
Calculamos as derivadas parciais:
A matriz jacobiana é
O determinante é
Portanto
, e assim
.]
Passo 5
Mapeamento das fronteiras (peguei os dados das retas do enunciado): as retas
e
tornam-se
e
. As retas
e
tornam-se
e
. Logo, em coordenadas
a região
corresponde ao retângulo
Passo 6
Transformação do integrando: como
, temos
Substituindo tudo na integral e usando
, obtemos
Passo 7
Calculamos as integrais passo a passo. Primeiro integramos em
:
Agora integramos em
:
Em forma de fração isso é
.
Passo 8
Interpretação final e incentivo: chegou aqui! A região complicada virou um retângulo nas coordenadas
, o Jacobiano explicou o fator
e a integral ficou bem direta. Você conseguiu transformar e calcular direitinho.