Questão 2: Calcule a integral da funçāo
f(x, y)=x+y+1
wa regiōn R limitada pelas retas y-x=1, y-x=-1, x+y=1, x+y=2.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x+y+1 e a região R limitada pelas retas
y-x=1,\quad y-x=-1,\quad x+y=1,\quad x+y=2.
O que se pede é calcular a integral dupla
\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Informações relevantes extraídas do enunciado: as quatro retas fornecem as fronteiras de R; a função a ser integrada é linear em x e y.

Passo 2

Observação útil (explicação didática): as retas que limitam R têm formas \,y-x=\text{constante}\, e \,x+y=\text{constante}\,. Uma forma prática é usar novas variáveis que sejam exatamente essas combinações lineares, porque então as curvas limite viram retas de coordenadas constantes — isso transforma a região R num retângulo no plano das novas variáveis, o que simplifica muito a integração. Vamos fazer isso.

Passo 3

Definimos as variáveis
u = x+y,\qquad v = y-x.
Agora resolvemos para x e y em função de u e v. Somando e subtraindo as igualdades:
u+v = (x+y)+(y-x)=2y\quad\Rightarrow\quad y=\frac{u+v}{2},
u-v = (x+y)-(y-x)=2x\quad\Rightarrow\quad x=\frac{u-v}{2}.
Estas fórmulas nos dizem como expressar x e y pelo par (u,v).

Passo 4

Explicação sobre o Jacobiano (aula curta): quando fazemos mudança de variáveis numa integral dupla, a área elementar dA em (x,y) se transforma em |J|\,du\,dv, onde J é o determinante da matriz das derivadas parciais de (x,y) em relação a (u,v). Esse determinante mede o fator de escala de áreas causado pela transformação.
Calculamos as derivadas parciais:
x_u=\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{1}{2},\quad x_v=\frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{1}{2},
y_u=\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{2},\quad y_v=\frac{\partial y}{\partial v}=\frac{1}{2}.
A matriz jacobiana é
\begin{pmatrix} x_u & x_v \\[4pt] y_u & y_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.
O determinante é
J=\det\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\[4pt]\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{2} =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
Portanto |J|=\frac{1}{2}, e assim dA = \frac{1}{2}\,du\,dv.]

Passo 5

Mapeamento das fronteiras (peguei os dados das retas do enunciado): as retas x+y=1 e x+y=2 tornam-se u=1 e u=2. As retas y-x=1 e y-x=-1 tornam-se v=1 e v=-1. Logo, em coordenadas (u,v) a região R corresponde ao retângulo
1\le u\le 2,\qquad -1\le v\le 1.

Passo 6

Transformação do integrando: como u=x+y, temos
f(x,y)=x+y+1 = u+1.
Substituindo tudo na integral e usando dA=\frac{1}{2}\,du\,dv, obtemos
\iint_{R} f(x,y)\,dA =\int_{u=1}^{2}\int_{v=-1}^{1} (u+1)\cdot\frac{1}{2}\,dv\,du.

Passo 7

Calculamos as integrais passo a passo. Primeiro integramos em v:
\int_{v=-1}^{1} (u+1)\cdot\frac{1}{2}\,dv =\frac{1}{2}(u+1)\int_{-1}^{1} dv =\frac{1}{2}(u+1)\cdot(1-(-1)) =\frac{1}{2}(u+1)\cdot 2 =(u+1).
Agora integramos em u:
\int_{u=1}^{2} (u+1)\,du =\left[\frac{u^{2}}{2}+u\right]_{1}^{2} =\left(\frac{4}{2}+2\right)-\left(\frac{1}{2}+1\right) =(2+2)-(0{,}5+1) =4-1{,}5 =2{,}5.
Em forma de fração isso é \frac{5}{2}.

Passo 8

Interpretação final e incentivo: chegou aqui! A região complicada virou um retângulo nas coordenadas (u,v), o Jacobiano explicou o fator 1/2 e a integral ficou bem direta. Você conseguiu transformar e calcular direitinho.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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