Determine a área da região entre a parábola dada por y=x^{2}-1 e o eixo x de:
\mathrm{x}=-3 até \mathrm{x}=3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola
y = x^2 - 1
e pelo eixo x, no intervalo x\in[-3,3].
O conteúdo é cálculo de área usando integral definida e, como a curva muda de sinal, vamos usar o valor absoluto de y e dividir o intervalo onde y\ge0 e y\le0.

Passo 2

Primeiro, achamos onde a parábola cruza o eixo x resolvendo
x^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 1.
Para |x|\ge1 temos y\ge0 e para |x|\le1 temos y\le0.

Passo 3

A área total é
A \;=\; \int_{-3}^{-1} (x^2 - 1)\,dx \;+\; \int_{-1}^{1} \bigl(1 - x^2\bigr)\,dx \;+\; \int_{1}^{3} (x^2 - 1)\,dx.
Como x^2-1 é função par, as áreas em [-3,-1] e em [1,3] são iguais, e a área em [-1,1] é o dobro da área em [0,1]. Logo
A = 2\int_{1}^{3}(x^2-1)\,dx \;+\;\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx =2\Bigl[\!\int_{0}^{1}(1-x^2)\,dx+\int_{1}^{3}(x^2-1)\,dx\Bigr].

Passo 4

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{1}(1-x^2)\,dx =\Bigl[x-\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_0^1 =1-\tfrac{1}{3} =\tfrac{2}{3},
\int_{1}^{3}(x^2-1)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^3}{3}-x\Bigr]_1^3 =\bigl(9-3\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{3}-1\bigr) =6+\tfrac{2}{3} =\tfrac{20}{3}.
Assim
A =2\Bigl(\tfrac{2}{3}+\tfrac{20}{3}\Bigr) =2\cdot\tfrac{22}{3} =\tfrac{44}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{44}{3}.

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