Determine a área da região plana e .

Passo 1

O enunciado pede a área da região que satisfaz simultaneamente as desigualdades (x-1)^2 + y^2 <= 1 e x^2 + (y-1)^2 <= 1. Isso significa a interseção de dois discos de raio 1, um centrado em (1,0) e outro em (0,1). Vamos usar geometria de lentes circulares.

Passo 2

Primeiro precisamos da distância d entre os centros (1,0) e (0,1). Calculando:
d = raiz(1-0)^2 + (0-1)^2 = raiz2

Passo 3

A área de interseção de dois círculos de mesmo raio r separados por distância d é dada pela fórmula de lente circular:
A = 2r^2arccosgl(d2rgr) ;- ; d2raiz4r^2 - d^2 Aqui cada parte vem de dois setores circulares menos dois triângulos isósceles.

Passo 4

Agora basta usar r=1 e d=raiz2:
$$A = 2\cdot1^2\arccos\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}\Bigr) - \frac{\sqrt2}{2}\sqrt{4 - 2}
= 2\cdot \frac{\pi}{4} - 1 = \frac{\pi}{2} - 1.$$

Resposta

pi2 - 1

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