Calcule:
dd x integralcos ^3 3 x^x^2 e^x t^2t ln t+t^3 d t

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular a derivada em relação a x da integral com limites variáveis de t^2tln t + t^3 entre cos^3(3x) e x^2e^x. O conteúdo aqui é a regra de Leibniz para derivada de integral com limites dependentes de x, e vamos precisar também das regras do produto e da cadeia para achar a'(x) e b'(x).

Passo 2

Aplicando a regra de Leibniz, temos:
ddx integrala(x)^b(x) f(t),dt = fl(b(x)r),b'(x) - fl(a(x)r),a'(x)
onde
a(x)=cos^3(3x), b(x)=x^2e^x, f(t)=t^2tln t + t^3

Passo 3

Agora calculamos as derivadas dos limites. Para b(x)=x^2e^x, pela regra do produto:
b'(x)=ddxl(x^2e^xr)=2x e^x + x^2e^x=e^x(x^2+2x)

Passo 4

Para a(x)=cos^3(3x), usamos cadeia duas vezes:
a'(x)=3cos^2(3x)cdotddx[cos(3x)]=3cos^2(3x)(-sin(3x)cdot3)=-9cos^2(3x)sin(3x)

Passo 5

Em seguida, avaliamos f(t) nos limites. Como f(t)=t^2t(ln t + t^2)=tln t + t^2,
fl(b(x)r)=x^2e^xlnl(x^2e^xr)+(x^2e^x)^2, fl(a(x)r)=cos^3(3x)lnl(cos^3(3x)r)+cos^6(3x)

Passo 6

Por fim, juntamos tudo:
$$\frac{d}{dx} \int_{\cos{3}(3x)}{x{2}e{x}} \frac{t^{2}}{t\ln t + t^{3}},dt
= f\bigl(b(x)\bigr),b’(x) - f\bigl(a(x)\bigr),a’(x).$$

Resposta

ddxintegralcos^3(3x)^x^2e^xt^2tln t + t^3,dt =e^x(x^2+2x)cdotx^2e^xln(x^2e^x)+(x^2e^x)^2 ;+ 9cos^2(3x)sin(3x)cdotcos^3(3x)ln(cos^3(3x)) + cos^6(3x)

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