Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região no plano que é limitada por três curvas: para , para , e para . Vamos usar cálculo integral para achar essa área, dividindo em partes para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no intervalo dado. Para de -1 a 0, a curva é , que é uma parábola aberta para cima. Para de 0 a 1, a curva é , que é uma reta crescente. E a linha é uma reta horizontal que vai de a .
Passo 3
Vamos visualizar: de a , a área está entre a parábola e a reta . De a , a área está entre a reta e a reta . Então, vamos calcular a área em duas partes e somar.
Passo 4
Para calcular a área entre duas curvas, usamos a integral do limite superior menos o limite inferior. A fórmula é:
Á
Passo 5
Primeira parte: de a , o topo é e a base é . Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver :
Calculando:
Passo 7
Segunda parte: de a , o topo é e a base é . A integral fica:
Passo 8
Vamos resolver :
Calculando:
Passo 9
Agora, somamos as duas áreas para obter a área total da região:
Á
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.