Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas:
{ y = x^2, -1 <= x <= 0; y = x, 0 <= x <= 1; y = 1, -1 <= x <= 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região no plano que é limitada por três curvas: para , para , e para . Vamos usar cálculo integral para achar essa área, dividindo em partes para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no intervalo dado. Para de -1 a 0, a curva é , que é uma parábola aberta para cima. Para de 0 a 1, a curva é , que é uma reta crescente. E a linha é uma reta horizontal que vai de a .

Passo 3

Vamos visualizar: de a , a área está entre a parábola e a reta . De a , a área está entre a reta e a reta . Então, vamos calcular a área em duas partes e somar.

Passo 4

Para calcular a área entre duas curvas, usamos a integral do limite superior menos o limite inferior. A fórmula é:
Á

Passo 5

Primeira parte: de a , o topo é e a base é . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver :
Calculando:

Passo 7

Segunda parte: de a , o topo é e a base é . A integral fica:

Passo 8

Vamos resolver :
Calculando:

Passo 9

Agora, somamos as duas áreas para obter a área total da região:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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