Qual a solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
{ xy' + y = x^5 y^3, y(1) = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! O enunciado nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la num formato mais familiar. Dividindo todo o lado da equação por , temos:
Isso se parece com a Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em linear. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar em termos de e . Diferenciando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo na equação original em termos de :
Agora, substituímos na equação de Bernoulli:
Dividindo tudo por :
Mas , então:

Passo 5

Rearranjando a equação para forma linear:
Agora, temos uma Equação Diferencial Linear para . Para resolver, precisamos de um fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação por :
A equação agora pode ser escrita como:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Invertendo ambos os lados para encontrar :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Elevando ambos os lados ao poder de :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do Problema de Valor Inicial é:

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