Qual a solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! O enunciado nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la num formato mais familiar. Dividindo todo o lado da equação por
, temos:
Isso se parece com a Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em linear. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo
na equação original em termos de
:
Agora, substituímos
na equação de Bernoulli:
Dividindo tudo por
:
Mas
, então:
Passo 5
Rearranjando a equação para forma linear:
Agora, temos uma Equação Diferencial Linear para
. Para resolver, precisamos de um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação por
:
A equação agora pode ser escrita como:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo ambos os lados para encontrar
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Elevando ambos os lados ao poder de
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do Problema de Valor Inicial é: