Resolver as integrais usando métodos adequados: integral raiz4 xx+1x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral . Aqui, vamos usar técnicas de substituição para simplificar a expressão e encontrar a resposta. Vamos precisar lembrar como manipular raízes e frações dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
raiz4xx+1 = raiz4xraizx+1 = 2raizxraizx+1
Então, a integral fica:
integral 2raizxraizx+1 cdot x , dx = 2 integral raizxx raizx+1 , dx
Agora, simplificamos raizxx = 1raizx :
2 integral 1raizx cdot raizx+1 , dx = 2 integral 1raizx(x+1) , dx
Assim, a integral se torna:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
u = raizx
Então, 2 integral 1raizu^2(u^2 + 1) cdot 2u , du = 4 integral uraizu^4 + u^2 , du e raizu^4 + u^2 = u raizu^2 + 1 .
Substituindo na integral:
4 integral uu raizu^2 + 1 , du = 4 integral 1raizu^2 + 1 , du
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 4

A integral sinh^-1(u) + C ou ln(u + raizu^2 + 1) + C é uma forma padrão que sabemos resolver. A antiderivada é:
4 ln(u + raizu^2 + 1) + C
Então, temos:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original 4 ln(raizx + raizx + 1) + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral 4 ln(raizx + raizx + 1) + C é igual a:

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