Determine a área da região do primeiro quadrante contida no interior do círculo r=4 sen theta e fora da lemniscata r^2=8 cos 2 theta.

Passo 1

Resumindo o problema: queremos achar a área no primeiro quadrante que fica dentro do círculo r = 4 sin theta e fora da lemniscata r^2 = 8 cos 2theta. Para isso vamos usar área em coordenadas polares, em que o elemento de área é dado por dA = tfrac12 r^2 ,dtheta. Precisaremos encontrar os pontos de interseção e os limites em theta em que cada curva domina.

Passo 2

Para achar o ângulo de interseção, igualamos as duas curvas: r = 4 sin theta e r^2 = 8 cos 2theta. Substituindo r = 4 sin theta em r^2 = 8 cos 2theta, temos 16 sin^2 theta = 8 cos2theta. Simplificando e usando cos2theta = 1 - 2 sin^2theta, encontramos sin^2theta = tfrac14, logo theta = pi/6 e r = 2.

Passo 3

Analisando qual curva é maior em cada intervalo de theta, notamos que a lemniscata tem r real apenas quando cos2theta >= 0, ou seja, 0 <= theta <= pi/4. Dentro desse intervalo, para theta < pi/6 temos rcírculo < r<=mniscataí (nenhuma área entre elas), para pi/6 <= theta <= pi/4 temos região entre r<=mniscata = raiz8 cos2theta e rcírculo = 4 sinthetaí. Para theta de pi/4 até pi/2, a lemniscata não existe ( r imaginário), então a região fora dela é todo r >= 0, ficando apenas a restrição r <= 4 sintheta.

Passo 4

Montamos assim a área como soma de duas integrais em polares:
A1 = 12 integralpi/6^pi/4 l((4 sintheta)^2 - (8 cos2theta)r),dtheta,
A2 = 12 integralpi/4^pi/2 (4 sintheta)^2,dtheta

Passo 5

Calculamos A1 simplificando o integrando:
(4 sintheta)^2 - 8 cos2theta = 16 sin^2theta - 8 cos2theta = 8 - 16 cos2theta
Logo
A1 = integralpi/6^pi/4 l(4 - 8 cos2thetar),dtheta = l[4theta - 4 sin2thetar]pi/6^pi/4 = (pi - 4) - l(tfrac2pi3 - 2raiz3r) = tfracpi3 - 4 + 2raiz3

Passo 6

Para A2 usamos sin^2theta = tfrac1 - cos2theta2 e obtemos
A2 = 8 integralpi/4^pi/2 sin^2theta,dtheta = 8l[tfractheta2 - tfrac14 sin2thetar]pi/4^pi/2 = 2pi - (pi - 2) = pi + 2

Passo 7

Somando A1 e A2 achamos
A = l(tfracpi3 - 4 + 2raiz3r) + (pi + 2) = tfrac4pi3 + 2raiz3 - 2

Resposta

4pi3 + 2raiz3 - 2

Exercícios relacionados