Determine a área da região do primeiro quadrante contida no interior do círculo
e fora da lemniscata
.
Passo 1
Resumindo o problema: queremos achar a área no primeiro quadrante que fica dentro do círculo
e fora da lemniscata
. Para isso vamos usar área em coordenadas polares, em que o elemento de área é dado por
. Precisaremos encontrar os pontos de interseção e os limites em
em que cada curva domina.
Passo 2
Para achar o ângulo de interseção, igualamos as duas curvas:
e
. Substituindo
em
, temos
. Simplificando e usando
, encontramos
, logo
e
.
Passo 3
Analisando qual curva é maior em cada intervalo de
, notamos que a lemniscata tem
real apenas quando
, ou seja,
. Dentro desse intervalo, para
temos
(nenhuma área entre elas), para
temos região entre
e
. Para
de
até
, a lemniscata não existe (
imaginário), então a região fora dela é todo
, ficando apenas a restrição
.
Passo 4
Montamos assim a área como soma de duas integrais em polares:
Passo 5
Calculamos
simplificando o integrando:
Logo
Passo 6
Para
usamos
e obtemos
Passo 7
Somando
e
achamos