Se a temperatura em um ponto (x, y, z) de uma bola sólida de raio 3 centrada em (0,0,0) é dada por T(x, y, z)=y z+z x+x y ache a direção partindo de (1,1,2), na qual a temperatura cresce mais rapidamente. Qual a taxa desse crescimento? Considere que a temperatura está em graus Celsius e a distância em metros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bola sólida de raio 3 com a temperatura em qualquer ponto dada por . A missão é descobrir em qual direção, partindo do ponto , a temperatura aumenta mais rápido e qual é essa taxa de aumento. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior crescimento de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função de temperatura partial Tpartial x = y + z . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é calculado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de partial Tpartial y = z + x :
partial Tpartial z = y + x

Passo 3

Agora, substituímos as coordenadas do ponto partial Tpartial x |(1,1,2) = 1 + 2 = 3 nas derivadas parciais para encontrar o gradiente naquele ponto específico:
partial Tpartial y |(1,1,2) = 2 + 1 = 3
partial Tpartial z |(1,1,2) = 1 + 1 = 2
nabla T = 3 3 2
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Para encontrar a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente, precisamos normalizar o gradiente. Isso significa transformar o vetor gradiente em um vetor unitário (com comprimento igual a 1).
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
|nabla T| = raiz3^2 + 3^2 + 2^2 = raiz9 + 9 + 4 = raiz22
Agora, o vetor direcionador é:
Direção = nabla T|nabla T| = 1raiz22 3 3 2 çã

Passo 5

A taxa de aumento da temperatura na direção escolhida é justamente a magnitude do gradiente, que já calculamos:
Taxa de aumento = |nabla T| = raiz22 approx 4,69 graus Celsius por metro

Resposta

A temperatura cresce mais rapidamente na direção do vetor 3 3 2 e a taxa desse crescimento é aproximadamente graus Celsius por metro.

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