Se a temperatura em um ponto de uma bola sólida de raio 3 centrada em é dada por ache a direção partindo de , na qual a temperatura cresce mais rapidamente. Qual a taxa desse crescimento? Considere que a temperatura está em graus Celsius e a distância em metros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma bola sólida de raio 3 com a temperatura em qualquer ponto dada por . A missão é descobrir em qual direção, partindo do ponto , a temperatura aumenta mais rápido e qual é essa taxa de aumento. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior crescimento de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função de temperatura . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é calculado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 3
Agora, substituímos as coordenadas do ponto nas derivadas parciais para encontrar o gradiente naquele ponto específico:
partial Tpartial z |(1,1,2) = 1 + 1 = 2
nabla T = 3 3 2
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 4
Para encontrar a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente, precisamos normalizar o gradiente. Isso significa transformar o vetor gradiente em um vetor unitário (com comprimento igual a 1).