4 Determine a área da região no primeiro quadrante limitada acima por y=e^x2, abaixo pela curva y=e^-x2 e à direita pela reta x=ln (3).

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada acima por y=e^x2, abaixo por y=e^-x2 e à direita por x=ln(3). O conteúdo aqui é cálculo de área entre duas curvas, que fazemos integrando a diferença ysuperior-yinferior em relação a x.

Passo 2

Precisamos determinar os limites em x. As duas curvas se intersectam quando
e^x2 = e^-x2
que implica x2=-x2 e, portanto, x=0. Como a região é limitada à direita por x=ln(3), vamos integrar de x=0 até x=ln(3).

Passo 3

A área A vale
A = integral0^ln(3) l(e^x2 - e^-x2r),dx

Passo 4

Calculemos a primitiva. Sabemos que
integral e^x2,dx = 2,e^x2, integral e^-x2,dx = -2,e^-x2
Logo, a primitiva de e^x2-e^-x2 é
2,e^x2 + 2,e^-x2

Passo 5

Avaliamo-la de 0 até ln(3):
no extremo superior x=ln(3),
2,e^ln(3)2 + 2,e^-ln(3)2 = 2raiz3 + 21raiz3 = 2raiz3 + 2raiz3 = 8raiz33,
e no inferior x=0,
2,e^0 + 2,e^0 = 4
Portanto,
A = 8raiz33 - 4

Resposta

A = 8raiz33 - 4

Exercícios relacionados