Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas dadas.
y=x raizx^2-9, y=0, x=5;

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas ;y = xraizx^2-9, ;y=0 e ;x=5. Vamos usar o método de integração para calcular a área sob a curva ;y=f(x) entre os pontos de interseção com o eixo x e a reta vertical x=5.

Passo 2

Determinar o intervalo de integração. A curva ;y = xraizx^2-9 anula-se quando
xraizx^2-9=0
isto é, em x=0 ou em x^2=9. Porém, para raizx^2-9 existir real, precisamos de x^2>=9, logo x>=3 ou x<=-3. Na parte positiva temos a raiz em x=3. Assim a região vai de x=3 até x=5.

Passo 3

Montar a integral da área:
Área = integral3^5 xraizx^2-9,dx Á

Passo 4

Fazer a substituição u = x^2 - 9. Então du = 2x,dx, ou seja x,dx = tfrac12,du. A integral torna-se
integral xraizx^2-9,dx = tfrac12 integral u^1/2,du = tfrac12cdot 23,u^3/2 = 13,u^3/2

Passo 5

Voltar à variável x e avaliar de 3 a 5:
[13(x^2-9)^3/2]3^5 = 13l(25-9r)^3/2 - 13l(9-9r)^3/2 = 13cdot 16^3/2 - 0 = 13cdot 64 = 643

Resposta

643

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