Resolva as equações:
2 x^6-5 x^5+4 x^4-5 x^3-10 x^2+30 x-12=0;

Passo 1

O enunciado pede a resolução da equação polinomial
2x^6-5x^5+4x^4-5x^3-10x^2+30x-12=0
O conteúdo aqui envolve fatoração de polinômios e o Teorema Fundamental da Álgebra para obter todas as raízes, reais e complexas.

Passo 2

Aplicamos o Teorema das Raízes Racionais, testando valores da forma pmdc, onde d divide -12 e c divide 2. Observamos que, para x=2,
2cdot2^6-5cdot2^5+4cdot2^4-5cdot2^3-10cdot2^2+30cdot2-12 =128-160+64-40-40+60-12=0,
logo x=2 é raiz.

Passo 3

Fazendo a divisão sintética de
2x^6-5x^5+4x^4-5x^3-10x^2+30x-12
por (x-2), obtemos como quociente o polinômio de grau 5:
2x^5-x^4+2x^3-x^2-12x+6
Assim,
2x^6-5x^5+cdots-12=(x-2)l(2x^5-x^4+2x^3-x^2-12x+6r)

Passo 4

Fatoramos por agrupamento o polinômio de quinto grau:
2x^5-x^4+2x^3-x^2-12x+6 = (2x-1),(x^4+x^2-6)
Portanto
2x^6-5x^5+cdots-12=(x-2)(2x-1)(x^4+x^2-6)

Passo 5

Para resolver x^4+x^2-6=0, fazemos y=x^2, obtendo
y^2+y-6=0 Longrightarrow y=-1pmraiz1+242=-1pm52,
ou seja y=2 ou y=-3. Voltando a x:
  • Se x^2=2, então x=pmraiz2.
  • Se x^2=-3, então x=pm iraiz3.

Passo 6

Reunindo todas as raízes do polinômio:
x=2, x=tfrac12, x=pmraiz2, x=pm iraiz3

Resposta

As soluções da equação são
x=2, x=tfrac12, x=raiz2, x=-raiz2, x=iraiz3, x=-iraiz3

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