Determine a área da região do primeiro quadrante que é limitada pelas curvas definidas por
e pelo eixo
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
e pelo eixo
.
O conteúdo principal aqui é o cálculo de área pela integral definida, usando interseções das curvas e do próprio eixo como limites de integração.
O conteúdo principal aqui é o cálculo de área pela integral definida, usando interseções das curvas e do próprio eixo como limites de integração.
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção que delimitam a região:
. Interseção de
com o eixo
(
):
, ponto
.
. Interseção de
com o eixo
:
, ponto
.
. Interseção de
com
:
. Seja
, então
(descartamos
). Logo
e
, ponto
.
Passo 3
Esboçando a região vemos que para
a fronteira superior é
e a inferior é o eixo (
), e para
a fronteira superior continua sendo
e a inferior passa a ser
.
Logo a área total é
Logo a área total é
Passo 4
Calcular a primeira integral:
Passo 5
Calcular a segunda integral em duas partes:
Portanto
Passo 6
Somando as duas parcelas da área:
Resposta
(unidades de área)