Determine a área da região do primeiro quadrante que é limitada pelas curvas definidas por y=raizx, y=x-2 e pelo eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
y = raizx, y = x - 2
e pelo eixo x.
O conteúdo principal aqui é o cálculo de área pela integral definida, usando interseções das curvas e do próprio eixo como limites de integração.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção que delimitam a região:
1. Interseção de y=raizx com o eixo x ( y=0):
raizx=0 Rightarrow x=0, ponto (0,0).
2. Interseção de y=x-2 com o eixo x:
x-2=0 Rightarrow x=2, ponto (2,0).
3. Interseção de y=raizx com y=x-2:
raizx=x-2. Seja t=raizx>=0, então t = t^2-2 Rightarrow t^2-t-2=0 Rightarrow t=2 (descartamos t=-1). Logo x=t^2=4 e y=2, ponto (4,2).

Passo 3

Esboçando a região vemos que para 0<= x<=2 a fronteira superior é y=raizx e a inferior é o eixo ( y=0), e para 2<= x<=4 a fronteira superior continua sendo y=raizx e a inferior passa a ser y=x-2.
Logo a área total é
A = integral0^2raizx,dx ;+;integral2^4l(raizx - (x-2)r),dx

Passo 4

Calcular a primeira integral:
integral0^2raizx,dx =integral0^2x^tfrac12,dx =l[23x^tfrac32r]0^2 =23l(2^tfrac32-0r) =23cdot2raiz2 =4raiz23

Passo 5

Calcular a segunda integral em duas partes:
integral2^4raizx,dx =l[23x^tfrac32r]2^4 =23l(4^tfrac32-2^tfrac32r) =23l(8-2raiz2r) =16-4raiz23,
integral2^4(x-2),dx =l[x^22-2xr]2^4 =l(8-8r)-l(2-4r) =0-(-2) =2
Portanto
integral2^4l(raizx-(x-2)r),dx =16-4raiz23-2 =16-4raiz2-63 =10-4raiz23

Passo 6

Somando as duas parcelas da área:
A =4raiz23+10-4raiz23 =103

Resposta

103
(unidades de área)

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