Seja w=x y z+x sen(y z)+y sen(x z). Calcule wx, wy, wz.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de três variáveis
w = x,y,z ;+; x sin(yz);+; y sin(xz)
e pede as derivadas parciais wx, wy e wz.
Para isso vamos usar a regra do produto (quando a variável aparece multiplicando outras) e a regra da cadeia (quando derivamos sin(u), pois ddusin(u)=cos(u),u').

Passo 2

Cálculo de wx=partial wpartial x:
  1. Derivada de x,y,z em relação a x é y,z.
  2. Derivada de xsin(yz): aqui sin(yz) é visto como constante, então é sin(yz).
  3. Derivada de ysin(xz): y é constante, e ddxsin(xz)=cos(xz)cdot z, logo dá y,zcos(xz).
    Logo,
wx = y,z ;+;sin(yz);+;y,zcos(xz)

Passo 3

Cálculo de wy=partial wpartial y:
  1. Derivada de x,y,z em relação a y é x,z.
  2. Derivada de xsin(yz): x é constante e ddysin(yz)=cos(yz)cdot z, então dá x,zcos(yz).
  3. Derivada de ysin(xz): sin(xz) é constante em y, então dá sin(xz).
    Logo,
wy = x,z ;+;x,zcos(yz);+;sin(xz)

Passo 4

Cálculo de wz=partial wpartial z:
  1. Derivada de x,y,z em relação a z é x,y.
  2. Derivada de xsin(yz): x constante e ddzsin(yz)=cos(yz)cdot y, então dá x,ycos(yz).
  3. Derivada de ysin(xz): y constante e ddzsin(xz)=cos(xz)cdot x, então dá x,ycos(xz).
    Logo,
wz = x,y ;+;x,ycos(yz);+;x,ycos(xz)

Resposta

wx = y,z + sin(yz) + y,zcos(xz),
wy = x,z + x,zcos(yz) + sin(xz),
wz = x,y + x,ycos(yz) + x,ycos(xz)

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