Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
y^prime prime-y=5 x+2

Passo 1

O enunciado pede para integrar a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y'' - y = 5x + 2. O conteúdo envolve equações lineares de 2ª ordem e vamos precisar encontrar a solução complementar (homogênea) e uma solução particular.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, consideramos y'' - y = 0. Montamos a equação característica r^2 - 1 = 0, cujas raízes são r = 1 e r = -1. Assim, a solução complementar é yh = C1 e^x + C2 e^-x.

Passo 3

Para a solução particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não-homogêneo 5x+2 é um polinômio de grau 1, chutamos yp = Ax + B. Então yp' = A e yp'' = 0. Substituindo em y'' - y temos:
-(Ax + B) = 5x + 2

Passo 4

Igualando coeficientes de x e termos constantes:
-A = 5 e -B = 2

Passo 5

Logo A = -5 e B = -2, ou seja, yp = -5x - 2.

Passo 6

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
y = yh + yp = C1 e^x + C2 e^-x -5x -2

Resposta

y = C1 e^x + C2 e^-x - 5x - 2

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