Em cada um dos Problemas 20 a 25 , encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando
?
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de uma EDO linear de 3ª ordem homogênea com coeficientes constantes e, depois, fazer o gráfico e discutir o comportamento quando
. Vamos usar teoria de equações diferenciais: caracterização pela equação característica e superposição das soluções elementares.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada a
. Substituindo
obtemos
Fatorando
:
As raízes são
e, pela fórmula de Bhaskara,
Passo 3
A solução geral da EDO é combinação linear das soluções elementares
:
Em seguida calculamos as derivadas para impor as condições iniciais:
Passo 4
Aplicamos as condições iniciais:
Da última equação temos
Da última equação temos
Passo 5
Substituindo em
:
Simplificando:
Logo
.
Passo 6
Da primeira condição
:
Portanto a solução particular é
Passo 7
Para esboçar o gráfico, note que em
temos
e que as parcelas
e
decaem exponencialmente. A soma tende a 8 conforme
cresce, de modo que o gráfico sobe monotonicamente de
até se aproximar assintoticamente de 8.
Passo 8
Quando
, as exponenciais vão a zero e
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
o gráfico parte de
e cresce até aproximar-se de 8. Quando
,
.