Em cada um dos Problemas 20 a 25 , encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t infty ?
6 y^prime prime prime+5 y^prime prime+y^prime=0 ; y(0)=-2, y^prime(0)=2, y^prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de uma EDO linear de 3ª ordem homogênea com coeficientes constantes e, depois, fazer o gráfico e discutir o comportamento quando ttoinfty. Vamos usar teoria de equações diferenciais: caracterização pela equação característica e superposição das soluções elementares.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a 6y'''+5y''+y'=0. Substituindo y=e^rt obtemos
6r^3+5r^2+r=0
Fatorando r:
r(6r^2+5r+1)=0
As raízes são r1=0 e, pela fórmula de Bhaskara,
r2,3=-5pm112=-tfrac12,,-tfrac13

Passo 3

A solução geral da EDO é combinação linear das soluções elementares e^ri t:
y(t)=C1 + C2 e^-t/2 + C3 e^-t/3
Em seguida calculamos as derivadas para impor as condições iniciais:
y'(t)=-tfrac12C2e^-t/2-tfrac13C3e^-t/3,
y''(t)=tfrac14C2e^-t/2+tfrac19C3e^-t/3

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais:
tfrac14C2+tfrac19C3=0implies9C2+4C3=0implies C3=-tfrac94C2


Da última equação temos

Passo 5

Substituindo em y'(0)=2:
-tfrac12C2-tfrac13l(-tfrac94C2r)=2
Simplificando:
-tfrac12C2+tfrac34C2=2impliestfrac34C2-tfrac24C2=2impliestfrac14C2=2implies C2=8
Logo C3=-tfrac94cdot8=-18.

Passo 6

Da primeira condição y(0)=-2:
C1+8-18=-2implies C1-10=-2implies C1=8
Portanto a solução particular é
y(t)=8+8e^-t/2-18e^-t/3

Passo 7

Para esboçar o gráfico, note que em t=0 temos y(0)=-2 e que as parcelas e^-t/2 e e^-t/3 decaem exponencialmente. A soma tende a 8 conforme t cresce, de modo que o gráfico sobe monotonicamente de -2 até se aproximar assintoticamente de 8.

Passo 8

Quando ttoinfty, as exponenciais vão a zero e
limttoinftyy(t)=8

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t)=8+8e^-t/2-18e^-t/3,
o gráfico parte de y(0)=-2 e cresce até aproximar-se de 8. Quando ttoinfty, y(t)to8.

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